Cet article rassemble une série d’exercices corrigés portant sur deux notions fondamentales en mathématiques : les ensembles et les applications. Conçus pour les étudiants en classes préparatoires (CPGE) – notamment en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI – ainsi que pour ceux en prépas intégrées ou en L1, bac+1. Ces exercices visent à consolider la maîtrise des concepts de base tout en préparant efficacement aux évaluations et concours.
La première partie est consacrée aux opérations sur les ensembles : inclusion, intersection, réunion, différence, passage aux complémentaires et ensemble des parties.
Dans la seconde partie, nous abordons la théorie des applications à travers des exercices ciblant les notions d’injectivité, de surjectivité, de bijectivité, ainsi que la manipulation des images directes et réciproques d’ensembles.
Enfin, une troisième partie regroupera des exercices mêlant ensembles et applications, afin de mieux comprendre les interactions entre ces deux notions fondamentales.
Exercices sur les ensembles
Exercice 1 :
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois parties d'un ensemble \(E\).
Donner une écriture simplifiée des sous-ensembles suivants :
1) \([A \cup (A \cap B)] \cap B\).
2) \((A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)\).
3) \(\overline{(A \cup B)} \cap \left(C \cup \overline{A}\right)\).
4) \([(A \cup B) \cap (B \cap C)] \cup (A \cup C)\).
5) \((A \cup B) \cap [(B \cap C) \cup (A \cup C)]\).
6) \(B \cup (A \setminus B)\).
7) \((A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})
\cup (\overline{A} \cap B)
\cup (\overline{A} \cap \overline{B})\).
8) \([(A \cap B) \cup (A \cup \overline{B})
\cup (\overline{A} \cap B)]
\cap (\overline{A} \cup \overline{B})\).
Exercice 2 :
Soient \(E\) un ensemble et \(A,B,C \in \mathcal{P}(E)\).
1) Montrer que :
\[
(A \cup B) \cap C \subset A \cup (B \cap C).
\]
2) Établir qu'il y a égalité dans l'inclusion précédente si et seulement si :
\[
A \subset C.
\]
Exercice 3 :
Soient \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\) et \(C\) trois parties de \(E\).
Montrer que :
\[
(A \cup B) \cap (B \cup C) \cap (C \cup A)
= (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A).
\]
Exercice 4 :
Soit \(E\) un ensemble, et soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois parties de \(E\).
Montrer que :
1) \(A \cup B = A \cap B \Rightarrow A = B\).
2) \(\begin{cases}A \cap B = A \cup C,\\A \cup B = A \cap C\end{cases}\Rightarrow A = B = C.\)
3) \(A \cap B = A \cap C \Leftrightarrow A \setminus B = A \setminus C\).
Exercice 5 :
Soit E un ensemble, et soient A, B, C trois parties de E.
1) Montrer que : \( (A \setminus C) \setminus (B \setminus C) = A \setminus (B \cup C ) \)
2) Montrer que : \( (A \setminus B) \cup (A \setminus C) = A \setminus (B \cap C ) \)
Exercice 6 :
Soit E un ensemble, et soient A, B, C trois parties de E.
Montrer que :
\( ( A \setminus B ) \cup ( B \setminus C ) \cup ( C \setminus A ) = ( A \cup B \cup C ) \setminus ( A \cap B \cap C ) \)
Exercice 7 :
On pose \( E= \left\{ a\ ; \ b \right\} \)
1) Déterminer \( \mathcal{P} (E) \)
2) Déterminer \( \mathcal{P} ( \mathcal{P} (E)) \)
Exercice 8 :
Soient E et F deux ensembles.
1) Montrer que : \( E \subset F \Leftrightarrow \mathcal{P}(E) \subset \mathcal{P}(F) \)
2) Établir que : \( \mathcal{P}(E \cap F)=\mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F) \)
3) A-t-on : \( \mathcal{P}(E \cup F)=\mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F) \) ?
Exercice 9 :
Soient E et F deux ensembles, \( A_{1} , A_{2} \in \mathcal{P} (E) \) et \( B_{1} , B_{2} \in \mathcal{P} (F) \)
1) Montrer que \( (A_{1} \times B_{1} ) \cap (A_{2} \times B_{2} ) = ( A_{1} \cap A_{2} ) \times ( B_{1} \cap B_{2} ) \)
2) Montrer que \( (A_{1} \times B_{1} ) \cup (A_{2} \times B_{1} ) = ( A_{1} \cup A_{2} ) \times B_{1} \)
3) A-t-on nécessairement \( (A_{1} \times B_{1} ) \cup (A_{2} \times B_{2} ) = ( A_{1} \cup A_{2} ) \times ( B_{1} \cup B_{2} ) \ ?\)
Exercice 10 :
Soient A et B deux parties d'un ensemble E.
Résoudre l'équation d'inconnue \( X \in \mathcal{P}(E) \) suivante :\( X \cap A=B \)
Exercice 11 :
Soient A et B deux parties d'un ensemble E.
Résoudre l'équation d'inconnue \( X \in \mathcal{P}(E) \) suivante :\( X \cup A=B \)
Exercice 12 :
Soient E, I, J trois ensembles, et \( (A_{i,j})_{(i,j)\in{I\times J}} \) une famille de parties de E.
Comparer \( \underset{i\in I} { \bigcup } \underset{j \in J} { \bigcap }A_{i,j} \) et \( \underset{j \in J} { \bigcap } \underset{i\in I} { \bigcup } A_{i,j} \)
Exercice 13 :
Soit \(E\) un ensemble non vide.
Pour tout \(A, B \in \mathcal{P}(E)\), on définit la différence symétrique de \(A\) et \(B\), qu'on note \(A \Delta B\), par : \(A \Delta B=(A \backslash B) \cup (B \backslash A)\).
1) Montrer que pour tout \(A, B \in \mathcal{P}(E),\; A \Delta B=(A \cup B) \backslash (A \cap B)\).
2) Soit \(A \in \mathcal{P}(E)\). Déterminer \(A \Delta A,\; A \Delta E,\; A \Delta \emptyset\) et \(A \Delta \overline{A}\).
3) Justifier que \(\forall A, B \in \mathcal{P}(E),\; A \Delta B=B \Delta A\).
4) Soit \(A, B \in \mathcal{P}(E)\).
4-a) Montrer que \(\overline{A \Delta B}=\overline{A} \Delta B=A \Delta \overline{B}\).
4-b) Que dire de \(\overline{A} \Delta \overline{B}\) ?
5) Montrer que : \(\forall A, B, C \in \mathcal{P}(E),\; (A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C)\). Qu'appelle-t-on cette propriété ?
6) Soit \(A \in \mathcal{P}(E)\).
On considère l'application\(\displaystyle \begin{array}{r}f: \mathcal{P}(E) \rightarrow \mathcal{P}(E)\\X \mapsto A \Delta X\end{array}\)
6-a) Montrer que \(f\) est surjective.
6-b) Montrer que \(f\) est injective puis conclure.
Image directe, image réciproque
Exercice 14 :
Soient E et F deux ensembles non vides, \( A_{1},A_{2} \in \mathcal{P} (E) \) et \( f \) une application de E dans F.
1) Montrer que : \( A_{1} \subset A_{2} \Rightarrow f(A_{1}) \subset f(A_{2}) \)
2) Montrer que : \( f(A_{1} \cup A_{2}) = f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \)
3-a) Montrer que : \( f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1}) \cap f(A_{2}) \)
3-b) A-t-on l'égalité ?
Exercice 15 :
Soient E et F deux ensembles non vides, et \( f \) une application de E dans F.
1) Montrer que : \( \forall A,B \in \mathcal{P}(F), \ A \subset B \Rightarrow f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B) \)
2) Montrer que : \( \forall A,B \in \mathcal{P}(F), \ f^{-1}(A \cup B ) =f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \)
3) Montrer que : \( \forall A,B \in \mathcal{P}(F), \ f^{-1}(A \cap B ) =f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \)
4) Montrer que : \( \forall A \in \mathcal{P}(F), \ f^{-1} ( C^{A}_{F})= C^{f^{-1}(A)}_{E} \)
Exercice 16 :
Soient E et F deux ensembles non vides, et \( f \) une application de E dans F.
1-a) Montrer que : \( \forall A \in \mathcal{P}(E), \ A \subset f^{-1}(f(A)) \)
1-b) A-t-on l'égalité ?
2-a) Montrer que : \( \forall B \in \mathcal{P}(F), \ f(f^{-1}(B)) \subset B \)
2-b) A-t-on l'égalité ?
Exercices sur les applications injectives, surjectives et bijectives
Exercice 17 :
Les applications suivantes sont-elles injectives ? Surjectives ?Bijectives ? Dans ce dernier cas, donner l'expression de la bijection réciproque.
1) \( \begin{array}{ccc} f : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & 2x \end{array} \)
2) \( \begin{array}{ccc} f : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \lfloor x \rfloor \end{array} \)
3) \( \begin{array}{ccc} f : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}_{+} \\ x & \longmapsto & |x| \end{array} \)
4) \( \begin{array}{ccc} f : [0,2] & \longrightarrow & [0,2] \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x & \text{si } x \in [0,1[,\\ 3-x & \text{si } x \in [1,2]. \end{cases} \end{array} \)
Exercice 18 :
Montrer que l'application \( f: x \rightarrow \frac{2 x}{1+x^{2}} \) est bijective de \( ] 0 , 1[ \) sur \( ] 0 , 1 [ \) et déterminer sa réciproque.
Exercice 19 :
Soit \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}\) l'application définie par :\[f(n)=\begin{cases}\frac{n}{2} & \text{si } n \text{ est pair},\\-\frac{n+1}{2} & \text{si } n \text{ est impair}.\end{cases}\]
Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
Exercice 20 :
On considère l'application \(f : \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{Q}\) définie par :\[\forall (p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*},\quad f(p,q)=p+\frac{1}{q}.\]
1) L'application \(f\) est-elle injective ?
2) L'application \(f\) est-elle surjective ?
Exercice 21 :
Soient E, F, G trois ensembles non vides, \( f \in \mathcal{F}(E,F), \ et \ \ g \in \mathcal{F}(F,G) \)
1) Montrer que : \( f \ et \ g \ injectives \ \Rightarrow g \circ f \ injective \)
2) Montrer que : \( f \ et \ g \ surjectives \ \Rightarrow g \circ f \ surjective \)
3) Montrer que : \( f \ et \ g \ bijectives \ \Rightarrow g \circ f \ bijective \)
4) Montrer que : \( g \circ f \ injective \Rightarrow f \ injective \)
5) Montrer que : \( g \circ f \ surjective \Rightarrow g \ surjective \)
Exercice 22 :
Soient E, F, G trois ensembles non vides, \( f \in \mathcal{F}(E,F), \ \ g \in \mathcal{F}(F,G) \ et \ \ h \in \mathcal{F}(G,E) \)
Montrer que si \( h \circ g \circ f \ et \ g \circ f \circ h \) sont injectives et \( f \circ h \circ g \) est surjective alors \( f, \ g \ et \ h \) sont bijectives.
Exercice 23 :
Soient E un ensemble et \( f: E \rightarrow E \) une application telle que \( f \circ f \circ f=f \).
Montrer que \( f \) est injective si et seulement si \(f \) est surjective.
Exercice 24 :
Soient \(E\) un ensemble et \(f : E \to E\) une application bijective.
On considère l'application \(\phi_f : E^E \to E^E\) définie par :\[\forall g \in E^E,\quad \phi_f(g)=f\circ g\circ f^{-1}.\]
1) Montrer que \(\phi_f\) est bijective.
2) Pour toutes applications \(g,h \in E^E\), simplifier \(\phi_f(g)\circ\phi_f(h)\).
3) Soit \(g \in E^E\) une application bijective. Simplifier \(\phi_f\circ\phi_g\).
4) Soit \(g \in E^E\) une application bijective. Montrer que \(\phi_f(g)\) est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 25 :
Soit \( f \text{ une application de } \mathbb{N} \text{ vers } \mathbb{N} \).
On suppose que \( f \) est injective et vérifie : \( \forall n \in \mathbb{ N}, \quad f(n)\leq n \).
Montrer que \( f=id_{\mathbb{N}} \)
Exercice 26 :
Soit \( f \text{ une application de } \mathbb{N} \text{ vers } \mathbb{N} \).
On suppose que \( f \) est surjective et vérifie : \( \forall n \in \mathbb{ N}, \quad f(n) \geq n \).
Montrer que \( f=id_{\mathbb{N}} \)
Exercice 27 :
Soient E et F deux ensembles non vides.
Montrer qu'il existe une application injective de E vers F si et seulement s'il existe une application surjective de F vers E.
Exercice 28 :
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles tels que \(E\) possède au moins deux éléments distincts.
Soit \(f: E \rightarrow F\) une application.
1) On suppose, dans cette question, qu'il existe une application \(g: F \rightarrow E\) vérifiant \(g \circ f = i d_{E}\).
Peut-on conclure que \(f\) est bijective ? Justifier votre réponse.
2) On suppose, cette fois, qu'il existe une unique application \(g: F \rightarrow E\) vérifiant \(g \circ f = i d_{E}\).
On cherche à démontrer que \(f\) est bijective.
On suppose qu'il existe \(y_{0} \in F\) tel que \(f \circ g\left(y_{0}\right) \neq y_{0}\).
2-a) Montrer que \(y_{0} \notin f(E)\).
2-b) Déterminer une application \(h: F \rightarrow E\), différente de \(g\), vérifiant : \(h \circ f = i d_{E}\).
2-c) Conclure.
Exercice 29 :
Soit \(f,g : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) deux applications injectives.
Montrer que l'application \(h : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \quad k \rightarrow f(k)g(k) \) n'est pas surjective
Exercices mêlant ensembles et applications :
Exercice 30 :
Soient \( E \ et \ F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
1) Montrer que \( \forall A, B \in \mathcal{P}(E),\ f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)\)
2) Montrer que : \( f \) est injective si et seulement si \( \forall A, B \in \mathcal{P}(E), \ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)\).
Exercice 31 :
Soient \( E \ et \ F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
1) Montrer que : \( \forall A \in \mathcal{P}(E), \ A \subset f^{-1}(f(A)) \)
2) Montrer que : \( f \text{ est injective } \Leftrightarrow \forall A \in \mathcal{P}(E), A=f^{-1}(f(A)) \)
Exercice 32 :
Soient \( E \ et \ F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
1) Montrer que : \( \forall B \in \mathcal{P}(F), \ f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B \)
2) Montrer que : \( f \text{ est surjective } \Leftrightarrow \forall B \in \mathcal{P}(F), B=f\left(f^{-1}(B)\right) \)
Exercice 33 :
Soient \( E \text{ et } F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
Montrer que : \( f \) est bijective si et seulement si \( \forall A \in \mathcal{P}(E), \ f\left(C_{E}^{A}\right)=C_{F}^{f(A)} \)
Exercice 34 :
Soient \(E\) un ensemble, \(A\) une partie de \(E\) et\(\varphi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)\) l'application définie par :\[\forall X \in \mathcal{P}(E),\quad \varphi(X)=X \cap A.\]
Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
i) \(\varphi\) est injective.
ii) \(A=E\).
iii) \(\varphi\) est surjective.
Exercice 35 :
Soient \(E\) un ensemble, \(A\) une partie de \(E\) et \(\varphi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)\) l'application définie par :\[\forall X \in \mathcal{P}(E),\quad \varphi(X)=X \cup A.\]
Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
i) \(\varphi\) est injective.
ii) \(A=\varnothing\).
iii) \(\varphi\) est surjective.
Exercice 36 :
Soient \( E \) un ensemble et \( A, B \in \mathcal{P}(E) \).
On considère l'application \( f \) définie par \( f \ : \ \begin{array}{lll} \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B) \\X \mapsto (X\cap A, X\cap B)\end{array} \)
1) Montrer que : \( f \) est injective si et seulement si \( A \cup B=E \)
2) Montrer que : \( f \) est surjective si et seulement si \( A \cap B= \emptyset \)
Exercice 37 :
Soit E un ensemble non vide.
Montrer qu'il n'existe pas d'application surjective de E vers \( \mathcal{P}(E)\)
Exercice 38 :
Soient E, I deux ensembles non vides et \( f : E \rightarrow I \) une application surjective. On pose \( \forall i \in I, A_{i} = f^{-1}( \{ i \} ) \).
Montrer que les \( A_{i} \) forment une partition de E.
Exercice 39 :
Soient E et F deux ensembles, on considère également les deux applications : \( f : E \rightarrow F \) et \( \phi \ : \ \begin{array}{lll} \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(F) \\ A \to f(A) \end{array} \)
1) Montrer que : \( f \text{ est injective } \Leftrightarrow \phi \text{ est injective } \)
2) Montrer que : \( f \text{ est surjective } \Leftrightarrow \phi \text{ est surjective } \)