Exercice :
Soit E un ensemble, et soient A, B, C trois parties de E.
1) Montrer que : \( (A \setminus C) \setminus (B \setminus C) = A \setminus (B \cup C ) \)
2) Montrer que : \( (A \setminus B) \cup (A \setminus C) = A \setminus (B \cap C ) \)
Corrigé :
1) Montrons que \((A\setminus C)\setminus(B\setminus C)=A\setminus(B\cup C)\).
Méthode 1 :
Soit \(x\in E\).
On a :\[\begin{aligned}x\in(A\setminus C)\setminus(B\setminus C)&\Leftrightarrow x\in A\setminus C\text{ et }x\notin B\setminus C\\&\Leftrightarrow (x\in A\text{ et }x\notin C)\text{ et }(x\notin B\text{ ou }x\in C)\\&\Leftrightarrow x\in A\text{ et }x\notin B\text{ et }x\notin C\\&\Leftrightarrow x\in A\text{ et }x\notin B\cup C\\&\Leftrightarrow x\in A\setminus(B\cup C).\end{aligned}\]Donc\[(A\setminus C)\setminus(B\setminus C)=A\setminus(B\cup C).\]
Méthode 2 :
On a :
\[
\begin{aligned}
(A\setminus C)\setminus(B\setminus C)
&=(A\cap\overline{C})\cap\overline{B\cap\overline{C}}\\
&=(A\cap\overline{C})\cap(\overline{B}\cup C)\\
&=(A\cap\overline{C}\cap\overline{B})\cup(A\cap\overline{C}\cap C)\\
&=(A\cap\overline{B}\cap\overline{C})\cup\varnothing\\
&=A\cap(\overline{B}\cap\overline{C})\\
&=A\cap\overline{B\cup C}\\
&=A\setminus(B\cup C).
\end{aligned}
\]
Donc \((A\setminus C)\setminus(B\setminus C)=A\setminus(B\cup C)\).
2) Montrons que \((A\setminus B)\cup(A\setminus C)=A\setminus(B\cap C)\).
Soit \(x\in E\).
Méthode 1 :
On a :\[\begin{aligned}x\in(A\setminus B)\cup(A\setminus C)&\Leftrightarrow x\in A\setminus B\text{ ou }x\in A\setminus C\\&\Leftrightarrow (x\in A\text{ et }x\notin B)\text{ ou }(x\in A\text{ et }x\notin C)\\&\Leftrightarrow x\in A\text{ et }(x\notin B\text{ ou }x\notin C)\\&\Leftrightarrow x\in A\text{ et }x\notin B\cap C\\&\Leftrightarrow x\in A\setminus(B\cap C).\end{aligned}\]Donc\[(A\setminus B)\cup(A\setminus C)=A\setminus(B\cap C).\]
Méthode 2 :
On a :
\[
\begin{aligned}
(A\setminus B)\cup(A\setminus C)
&=(A\cap\overline{B})\cup(A\cap\overline{C})\\
&=A\cap(\overline{B}\cup\overline{C})\\
&=A\cap\overline{B\cap C}\\
&=A\setminus(B\cap C).
\end{aligned}
\]
Donc \((A\setminus B)\cup(A\setminus C)=A\setminus(B\cap C)\).