Exercice :
Soient E, F, G trois ensembles non vides, \( f \in \mathcal{F}(E,F), \ \ g \in \mathcal{F}(F,G) \ et \ \ h \in \mathcal{F}(G,E) \)
Montrer que si \( h \circ g \circ f \ et \ g \circ f \circ h \) sont injectives et \( f \circ h \circ g \) est surjective alors \( f, \ g \ et \ h \) sont bijectives.
Corrigé :
On suppose que \(h \circ g \circ f\) et \(g \circ f \circ h\) sont injectives et que \(f \circ h \circ g\) est surjective.
Puisque \(h \circ g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
Puisque \(f \circ h \circ g\) est surjective, alors \(f\) est surjective.
Donc \(f\) est bijective.
Puisque \(g \circ f \circ h\) est injective, alors \(h\) est injective.
De plus, puisque \(f^{-1}\) et \(f \circ h \circ g\) sont surjectives, alors\[h \circ g=f^{-1}\circ(f \circ h \circ g)\]est surjective.
Donc \(h\) est surjective.Par conséquent, \(h\) est bijective.
Ainsi, \(f \circ h\) est bijective.
Comme \(g \circ f \circ h\) et \((f \circ h)^{-1}\) sont injectives, alors\[g=(g \circ f \circ h)\circ(f \circ h)^{-1}\]est injective.
De même, puisque \(f \circ h \circ g\) et \((f \circ h)^{-1}\) sont surjectives, alors\[g=(f \circ h)^{-1}\circ(f \circ h \circ g)\]est surjective.
Donc \(g\) est bijective.