Caractérisation de la bijectivité par l’image directe du complémentaire

Montrons l'implication directe :
On suppose que \(f\) est bijective.
Soit \(A\in\mathcal{P}(E)\).
Soit \(y\in f(C_E^A)\).
Donc \(\exists x\in C_E^A,\quad y=f(x)\).
On suppose par l'absurde que \(y\in f(A)\).
Donc \(\exists a\in A,\quad y=f(a)\).
On a alors \(f(a)=f(x)\) et, puisque \(f\) est injective, on obtient \(x=a\).
Donc \(x\in A\), ce qui est absurde, car \(x\in C_E^A\).
Par conséquent, \(y\notin f(A)\).
Autrement dit, \(y\in C_F^{f(A)}\).
On vient de montrer que\[y\in f(C_E^A)\Rightarrow y\in C_F^{f(A)}.\]
Donc \(f(C_E^A)\subset C_F^{f(A)}\).

Montrons maintenant l'autre inclusion :
Soit \(y\in C_F^{f(A)}\).
Puisque \(f\) est surjective, il existe \(x\in E\) tel que \(y=f(x)\).
On a donc \(f(x)\notin f(A)\).
Ainsi, \(x\notin A\).
Donc \(x\in C_E^A\).
Par conséquent, \(f(x)\in f(C_E^A)\).
Donc \(y\in f(C_E^A)\).
On vient de montrer que\[y\in C_F^{f(A)}\Rightarrow y\in f(C_E^A).\]
Donc \(C_F^{f(A)}\subset f(C_E^A)\).
Finalement, \(f(C_E^A)=C_F^{f(A)}\).
Ainsi,\[f\text{ bijective}\Rightarrow\forall A\in\mathcal{P}(E),\quad f(C_E^A)=C_F^{f(A)}.\]

Montrons l'implication réciproque :
On suppose que\[\forall A\in\mathcal{P}(E),\quad f(C_E^A)=C_F^{f(A)}.\]
Montrons d'abord que \(f\) est surjective.
En prenant \(A=\varnothing\), on obtient\[f(C_E^\varnothing)=C_F^{f(\varnothing)}.\]
Donc \(f(E)=C_F^\varnothing\).
Ainsi, \(f(E)=F\).
L'application \(f\) est donc surjective.

Montrons ensuite que \(f\) est injective :
Soient \(x,x'\in E\) tels que \(x\neq x'\).
On pose \(A=\{x\}\).
Donc \(f(A)=f(\{x\})=\{f(x)\}\).
D'après notre hypothèse,\[\begin{aligned}f(C_E^{\{x\}})&=f(C_E^A)\\&=C_F^{f(A)}\\&=C_F^{\{f(x)\}}.\end{aligned}\]Donc\[\begin{aligned}x\neq x'&\Rightarrow x'\in C_E^A\\&\Rightarrow f(x')\in f(C_E^A)\\&\Rightarrow f(x')\in C_F^{\{f(x)\}}\\&\Rightarrow f(x')\neq f(x).\end{aligned}\]
On vient donc de montrer que\[\forall x,x'\in E,\quad x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x').\]
Donc \(f\) est injective.
Ainsi, \(f\) est bijective.