Exercice :
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles tels que \(E\) possède au moins deux éléments distincts.
Soit \(f: E \rightarrow F\) une application.
1) On suppose, dans cette question, qu'il existe une application \(g: F \rightarrow E\) vérifiant \(g \circ f = i d_{E}\).
Peut-on conclure que \(f\) est bijective ? Justifier votre réponse.
2) On suppose, cette fois, qu'il existe une unique application \(g: F \rightarrow E\) vérifiant \(g \circ f = i d_{E}\).
On cherche à démontrer que \(f\) est bijective.
On suppose qu'il existe \(y_{0} \in F\) tel que \(f \circ g\left(y_{0}\right) \neq y_{0}\).
2-a) Montrer que \(y_{0} \notin f(E)\).
2-b) Déterminer une application \(h: F \rightarrow E\), différente de \(g\), vérifiant : \(h \circ f = i d_{E}\).
2-c) Conclure.
Corrigé :
1) On ne peut pas conclure que \(f\) est bijective.
Voici un contre-exemple.
On prend \(E=\mathbb{R}^{+}\), \(F=\mathbb{R}\) et les applications :\[\begin{aligned}f:\mathbb{R}^{+} &\longrightarrow \mathbb{R}\\x &\longmapsto \sqrt{x}\end{aligned}\qquad\begin{aligned}g:\mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R}^{+}\\x &\longmapsto x^{2}\end{aligned}\]
On a \(\forall x\in\mathbb{R}^{+}\),\[(g\circ f)(x)=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^{2}=x.\]
Donc \(g\circ f=\operatorname{id}_{E}\).
Mais \(f\) n'est pas bijective, car \(-1\) n'a pas d'antécédent par \(f\).
Donc \(f\) n'est pas surjective.
2) a) On suppose par l'absurde que \(y_{0}\in f(E)\).
Donc \(\exists x_{0}\in E,\quad y_{0}=f(x_{0})\).
Ainsi, \(g(y_{0})=(g\circ f)(x_{0})=x_{0}\).
Donc \((f\circ g)(y_{0})=f(x_{0})=y_{0}\), ce qui est absurde.
Par conséquent, \(y_{0}\notin f(E)\).
2-b) Puisque \(E\) possède au moins deux éléments distincts, on peut choisir un élément \(a\in E\) tel que \(a\neq g(y_{0})\).
On définit une application \(h\) de \(F\) dans \(E\) de la façon suivante :
Pour tout \(y\in F\) :
Si \(y\in f(E)\), on pose \(h(y)=g(y)\).
Si \(y\notin f(E)\), on pose \(h(y)=a\).
On a \(\forall x\in E\),\[\begin{aligned}(h\circ f)(x)&=h(f(x))\\&=g(f(x))\\&=(g\circ f)(x).\end{aligned}\]
Donc \(h\circ f=g\circ f\).
De plus, \(h(y_{0})=a\neq g(y_{0})\).
Donc \(h\neq g\).
2-c) L'existence de l'application \(h\) contredit l'unicité de l'application \(g\).
Donc \(\forall y\in F,\quad (f\circ g)(y)=y\).
Ainsi, \(f\circ g=\operatorname{id}_{F}\).
Comme on a aussi \(g\circ f=\operatorname{id}_{E}\), on peut affirmer que l'application \(f\) est bijective.