Étude des compositions de l’image directe et de l’image réciproque

1) a) Montrons que \(\forall A\in\mathcal{P}(E),\quad A\subset f^{-1}(f(A))\).
Soit \(A\in\mathcal{P}(E)\).
Soit \(x\in A\).
On a \(f(x)\in f(A)\).
Donc \(x\in f^{-1}(f(A))\).
Ainsi, \(A\subset f^{-1}(f(A))\).

b) A-t-on nécessairement l'égalité ?
L'égalité est fausse en général.
Contre-exemple :
On prend \(E=\{1,2\}\), \(F=\{0\}\) et l'application \(f:E\to F\) définie par \(f(1)=f(2)=0\).
On pose \(A=\{1\}\).On a \(f(A)=\{0\}\).
Donc \(f^{-1}(f(A))=f^{-1}(\{0\})=\{1,2\}\).
Par conséquent, \(A\neq f^{-1}(f(A))\).
Remarque :
Si \(f\) est injective, alors \(\forall A\in\mathcal{P}(E),\quad A=f^{-1}(f(A))\).

2) a) Montrons que \(\forall B\in\mathcal{P}(F),\quad f(f^{-1}(B))\subset B\).
Soit \(B\in\mathcal{P}(F)\).
Soit \(y\in f(f^{-1}(B))\).
Donc \(\exists x\in f^{-1}(B),\quad y=f(x)\).
Puisque \(x\in f^{-1}(B)\), alors \(f(x)\in B\).
Ainsi, \(y\in B\).
Par conséquent, \(f(f^{-1}(B))\subset B\).

b) A-t-on nécessairement l'égalité ?
L'égalité est fausse en général.
Contre-exemple :
On prend \(E=\{1\}\), \(F=\{0,1\}\) et l'application \(f:E\to F\) définie par \(f(1)=0\).
On pose \(B=\{1\}\).
On a \(f^{-1}(B)=\varnothing\).
Donc \(f(f^{-1}(B))=f(\varnothing)=\varnothing\).
Or \(B=\{1\}\neq\varnothing\).
Par conséquent, \(f(f^{-1}(B))\neq B\).

Remarque :
Si \(f\) est surjective, alors \(\forall B\in\mathcal{P}(F),\quad f(f^{-1}(B))=B\).