Exercice :
Soit \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}\) l'application définie par :\[f(n)=\begin{cases}\frac{n}{2} & \text{si } n \text{ est pair},\\-\frac{n+1}{2} & \text{si } n \text{ est impair}.\end{cases}\]
Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
Corrigé :
Montrons d'abord que \(f\) est injective.
Soient \(n,p \in \mathbb{N}\).
On suppose que \(f(n)=f(p)\).
1er cas : Si \(n\) est pair et \(p\) est impair.
Alors \(f(n)=\frac{n}{2}\geq 0\) et \(f(p)=-\frac{p+1}{2}<0\).Donc \(f(p)<f(n)\), ce qui est absurde, car \(f(n)=f(p)\).
2ème cas : Si \(n\) est impair et \(p\) est pair.
Alors \(f(n)=-\frac{n+1}{2}<0\) et \(f(p)=\frac{p}{2}\geq 0\).Donc \(f(n)<f(p)\), ce qui est absurde, car \(f(n)=f(p)\).
3ème cas : Si \(n\) et \(p\) sont pairs.
Puisque \(f(n)=f(p)\), alors \(\frac{n}{2}=\frac{p}{2}\).Donc \(n=p\).
4ème cas : Si \(n\) et \(p\) sont impairs.
Puisque \(f(n)=f(p)\), alors \(-\frac{n+1}{2}=-\frac{p+1}{2}\).
Donc \(n=p\).
On conclut de cette disjonction des cas que :
\[\forall n,p \in \mathbb{N},\quad f(n)=f(p)\Rightarrow n=p.\]
Donc \(f\) est injective.
Montrons maintenant que \(f\) est surjective.
Soit \(p \in \mathbb{Z}\).
1er cas : Si \(p\geq 0\).
On pose \(n=2p\).
Alors \(n\in\mathbb{N}\) et \(f(n)=f(2p)=\frac{2p}{2}=p\).
2ème cas : Si \(p<0\).On pose \(n=-2p-1\).
On a \(n\in\mathbb{N}\) et \(n\) est impair.
Donc\[\begin{aligned}f(n)&=-\frac{n+1}{2}\\&=-\frac{-2p-1+1}{2}\\&=p.\end{aligned}\]
On conclut de cette disjonction des cas que :
\[\forall p\in\mathbb{Z},\quad \exists n\in\mathbb{N},\quad f(n)=p.\]
Ce qui signifie que l'application \(f\) est surjective.
Ainsi, \(f\) est bijective.
Déterminons l'expression de \(f^{-1}\):
D'après ce qui précède, on a :\[\forall p\in\mathbb{Z},\quad p\geq 0\Rightarrow \left(f(2p)=p\Leftrightarrow 2p=f^{-1}(p)\right).\]Et\[\forall p\in\mathbb{Z},\quad p<0\Rightarrow \left(f(-2p-1)=p\Leftrightarrow -2p-1=f^{-1}(p)\right).\]
Donc :\[\begin{aligned}f^{-1}:\mathbb{Z}&\longrightarrow\mathbb{N}\\p&\longmapsto\begin{cases}2p & \text{si } p\geq 0,\\-2p-1 & \text{si } p<0.\end{cases}\end{aligned}\]