Exercice :
Soient \( E \ et \ F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
1) Montrer que : \( \forall B \in \mathcal{P}(F), \ f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B \)
2) Montrer que : \( f \text{ est surjective } \Leftrightarrow \forall B \in \mathcal{P}(F), B=f\left(f^{-1}(B)\right) \)
Corrigé :
1) Soit \(B\in\mathcal{P}(F)\).
Soit \(y\in F\).
On suppose que \(y\in f(f^{-1}(B))\).
Donc \(\exists x\in f^{-1}(B),\quad y=f(x)\).
Ainsi, \(y=f(x)\in B\).
Par conséquent, \(f(f^{-1}(B))\subset B\).
2)
Montrons l'implication directe :
On suppose que \(f\) est surjective.
Soit \(B\in\mathcal{P}(F)\).
Soit \(y\in B\).
Puisque \(f\) est surjective, il existe \(x\in E\) tel que \(y=f(x)\).
On a alors \(f(x)\in B\).
Donc \(x\in f^{-1}(B)\).
Par conséquent, \(y=f(x)\in f(f^{-1}(B))\).
Ainsi, \(B\subset f(f^{-1}(B))\).
Nous avons montré dans la question 1 que \(f(f^{-1}(B))\subset B\).
Donc \(B=f(f^{-1}(B))\).
Montrons l'implication réciproque :
On suppose que\[\forall B\in\mathcal{P}(F),\quad B=f(f^{-1}(B)).\]
On prend \(B=F\).
On a \(f^{-1}(F)=E\).
Donc \(f(E)=f(f^{-1}(F))=F\).
Par conséquent, \(f\) est surjective.