Exercice :
Soient A et B deux parties d'un ensemble E.
Résoudre l'équation d'inconnue \( X \in \mathcal{P}(E) \) suivante :\( X \cup A=B \)
Corrigé :
On va utiliser un raisonnement par analyse-synthèse.
Analyse :
On suppose que cette équation admet une solution \(X \in \mathcal{P}(E)\).
On a \(A \subset X \cup A\), donc \(A \subset B\).
De plus,
\(\begin{aligned}X &= X \cup \varnothing\\&= X \cup (A \cap \bar{A})\\&= (X \cup A) \cap (X \cup \bar{A})\\&= B \cap Y \quad (\text{avec } \bar{A} \subset Y).\end{aligned}\)
Synthèse :
On suppose que \(A \subset B\).
On pose \(X=B \cap Y\), avec \(Y \in \mathcal{P}(E)\) tel que \(\bar{A} \subset Y\).
On a :
\(\begin{aligned}X \cup A &= (B \cap Y) \cup A\\&= (B \cup A) \cap (Y \cup A)\\&= B \cap E\\&= B.\end{aligned}\)
Conclusion :
On note \(S\) l'ensemble des solutions de cette équation.
\(S=\begin{cases}\varnothing & \text{si } A \not\subset B,\\\{B \cap Y \mid \bar{A} \subset Y \subset E\} & \text{si } A \subset B.\end{cases}\)