Exercice :
Soient E et F deux ensembles non vides, \( A_{1},A_{2} \in \mathcal{P} (E) \) et \( f \) une application de E dans F.
1) Montrer que : \( A_{1} \subset A_{2} \Rightarrow f(A_{1}) \subset f(A_{2}) \)
2) Montrer que : \( f(A_{1} \cup A_{2}) = f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \)
3-a) Montrer que : \( f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1}) \cap f(A_{2}) \)
3-b) A-t-on l'égalité ?
Corrigé :
1) Montrons que \(A_1\subset A_2\Rightarrow f(A_1)\subset f(A_2)\).
On suppose que \(A_1\subset A_2\).
Soit \(y\in f(A_1)\).
Donc \(\exists x\in A_1,\quad y=f(x)\).
Puisque \(A_1\subset A_2\), alors \(x\in A_2\).
Donc \(y=f(x)\in f(A_2)\).
Ainsi, \(f(A_1)\subset f(A_2)\).
2) Montrons que \(f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)\).
Soit \(y\in F\).
On a :\[\begin{aligned}y\in f(A_1\cup A_2)&\Leftrightarrow \exists x\in A_1\cup A_2,\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow (\exists x\in A_1,\quad y=f(x))\text{ ou }(\exists x\in A_2,\quad y=f(x))\\&\Leftrightarrow y\in f(A_1)\text{ ou }y\in f(A_2)\\&\Leftrightarrow y\in f(A_1)\cup f(A_2).\end{aligned}\]Donc \(f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)\).
3) a) Montrons que \(f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2)\).
On a \(A_1\cap A_2\subset A_1\).D'après la question 1, on obtient\[f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1).\]
De même, \(A_1\cap A_2\subset A_2\), donc\[f(A_1\cap A_2)\subset f(A_2).\]
Par conséquent,\[f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2).\]
b) A-t-on nécessairement l'égalité ?
L'égalité est fausse en général.
Contre-exemple :
On prend \(E=\{1,2\}\), \(F=\{0\}\) et l'application \(f:E\to F\) définie par\[f(1)=f(2)=0.\]
On pose \(A_1=\{1\}\) et \(A_2=\{2\}\).
On a \(A_1\cap A_2=\varnothing\).
Donc\[f(A_1\cap A_2)=f(\varnothing)=\varnothing.\]En revanche,\[f(A_1)\cap f(A_2)=\{0\}\cap\{0\}=\{0\}.\]
Ainsi,\[f(A_1\cap A_2)\neq f(A_1)\cap f(A_2).\]
Remarque :
Si \(f\) est injective, alors\[f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2).\]