Exercice :
Soient E un ensemble et \( f: E \rightarrow E \) une application telle que \( f \circ f \circ f=f \).
Montrer que \( f \) est injective si et seulement si \(f \) est surjective.
Corrigé :
\("\Rightarrow"\) Montrons l'implication directe.
On suppose que \(f\) est injective.
Soit \(y \in E\).
On a \(f \circ f \circ f=f\).
Donc \(f \circ f \circ f(y)=f(y)\).
D'où \(f(f(f(y)))=f(y)\).
Par injectivité de \(f\), on obtient \(f(f(y))=y\).
On pose \(x=f(y)\).
On a alors \(y=f(x)\).
On vient de montrer que :\[\forall y \in E,\ \exists x \in E,\ y=f(x).\]
L'application \(f\) est donc surjective.
\("\Leftarrow"\) Montrons l'implication réciproque.
On suppose que \(f\) est surjective.
Soient \(x,x' \in E\).
On suppose que \(f(x)=f(x')\).
Par surjectivité de \(f\), il existe \(a,a' \in E\) tels que\(x=f(a)\) et \(x'=f(a')\).
On a alors \(f(f(a))=f(f(a'))\).
Donc\[f \circ f(a)=f \circ f(a').\]
D'où\[f \circ f \circ f(a)=f \circ f \circ f(a').\]
Puisque \(f \circ f \circ f=f\), alors \(f(a)=f(a')\).
Donc \(x=x'\).
On vient de montrer que :\[\forall x,x' \in E,\quad f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'.\]
L'application \(f\) est donc injective.