Exercice :
Soient \(E\) un ensemble et \(A,B,C \in \mathcal{P}(E)\).
1) Montrer que :
\[
(A \cup B) \cap C \subset A \cup (B \cap C).
\]
2) Établir qu'il y a égalité dans l'inclusion précédente si et seulement si :
\[
A \subset C.
\]
Corrigé :
1) On a :
\[
(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C).
\]
Or, \(A \cap C \subset A\).
Donc
\[
(A \cap C) \cup (B \cap C)
\subset A \cup (B \cap C).
\]
D'où
\[
(A \cup B) \cap C \subset A \cup (B \cap C).
\]
2) \("\Leftarrow"\) Supposons que \(A \subset C\).
Alors \(A \cap C = A\).
D'où
\[
\begin{aligned}
(A \cup B) \cap C
&= (A \cap C) \cup (B \cap C) \\
&= A \cup (B \cap C).
\end{aligned}
\]
\("\Rightarrow"\) Supposons que
\[
(A \cup B) \cap C = A \cup (B \cap C).
\]
Puisque \(A \subset A \cup (B \cap C)\), on en déduit que
\[
A \subset (A \cup B) \cap C.
\]
Or, \((A \cup B) \cap C \subset C\).
Donc \(A \subset C\).