Exercice :
Soient E, I deux ensembles non vides et \( f : E \rightarrow I \) une application surjective. On pose \( \forall i \in I, A_{i} = f^{-1}( \{ i \} ) \).
Montrer que les \( A_{i} \) forment une partition de E.
Corrigé :
Puisque \(f\) est surjective, alors \(\forall i\in I,\ \exists a_i\in E,\quad f(a_i)=i\).
Donc \(\forall i\in I,\quad a_i\in f^{-1}(\{i\})=A_i\).
En particulier, \(\forall i\in I,\quad A_i\neq\varnothing\).
Soient \(i,j\in I\) tels que \(i\neq j\).\[\begin{aligned}A_i\cap A_j&=f^{-1}(\{i\})\cap f^{-1}(\{j\})\\&=f^{-1}(\{i\}\cap\{j\})\\&=f^{-1}(\varnothing)\\&=\varnothing.\end{aligned}\]
Donc \(\forall i,j\in I,\quad i\neq j\Rightarrow A_i\cap A_j=\varnothing\).
De plus,\[\begin{aligned}\bigcup_{i\in I}A_i&=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(\{i\})\\&=f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}\{i\}\right)\\&=f^{-1}(I)\\&=E.\end{aligned}\]
On conclut finalement que la famille \((A_i)_{i\in I}\) est une partition de \(E\).