Exercice :
Soient E et F deux ensembles non vides.
Montrer qu'il existe une application injective de E vers F si et seulement s'il existe une application surjective de F vers E.
Corrigé :
Montrons l'implication directe :
On suppose qu'il existe une application \(f\) injective de \(E\) vers \(F\).
On définit une application \(g\) de \(F\) vers \(E\) de la façon suivante :
Soit \(a\in E\).
Si \(y\in f(E)\), on pose \(g(y)=x\), où \(x\) est l'unique antécédent de \(y\) par l'application \(f\).
Si \(y\in F\backslash f(E)\), on pose \(g(y)=a\).
On a \(\forall x\in E,\quad (g\circ f)(x)=x\).
Donc \(g\circ f=\operatorname{id}_E\).
Comme \(\operatorname{id}_E\) est surjective, \(g\circ f\) est surjective, donc \(g\) est surjective.
Montrons l'implication réciproque :
On suppose qu'il existe une application surjective \(f\) de \(F\) vers \(E\).
On définit une application \(g\) de \(E\) vers \(F\) de la façon suivante :
Pour tout \(y\in E\), on choisit un antécédent \(x\) de \(y\) par \(f\) et on pose \(g(y)=x\).
Dans ce cas, on a \((f\circ g)(y)=f(x)=y\).
Ainsi, \(f\circ g=\operatorname{id}_E\).
Puisque \(\operatorname{id}_E\) est injective, alors \(f\circ g\) est injective.
Donc \(g\) est injective.