Étude de la bijectivité d’une fonction rationnelle et détermination de sa réciproque

Montrons que \(f\) est bijective :
Soit \(y\in ]0,1[\).
Montrons que l'équation \(f(x)=y\) admet une unique solution dans \(]0,1[\).
Soit \(x\in ]0,1[\).
On a :\[\begin{aligned}f(x)=y&\Leftrightarrow \frac{2x}{1+x^2}=y\\&\Leftrightarrow 2x=y(1+x^2)\\&\Leftrightarrow yx^2-2x+y=0.\end{aligned}\]
Le discriminant de cette équation du second degré est :\[\Delta=4-4y^2=4(1-y^2)>0.\]
L'équation admet donc deux solutions réelles distinctes :\[x_1=\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}\quad\text{et}\quad x_2=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}.\]
Puisque \(0<y<1\), on a\[x_2=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}>1.\]
Donc \(x_2\notin ]0,1[\).
D'autre part, en utilisant le conjugué du numérateur de \(x_1\), on obtient :\[x_1=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}.\]
Or \(0<y<1\) et \(1+\sqrt{1-y^2}>1\).
Donc \(0<x_1<1\).
Ainsi, l'équation \(f(x)=y\) admet une unique solution dans \(]0,1[\), donnée par\[x=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}.\]
On vient donc de montrer que\[\forall y\in ]0,1[,\quad\exists !\,x\in ]0,1[,\quad f(x)=y.\]
Par conséquent, \(f\) est bijective de \(]0,1[\) sur \(]0,1[\).

Déterminons l'application réciproque :
D'après ce qui précède, on a :\[\forall y\in ]0,1[,\quad f^{-1}(y)=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}.\]
Finalement,\[\boxed{\forall x\in ]0,1[,\quad f^{-1}(x)=\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}}.\]