Exercice :
Soient E et F deux ensembles, on considère également les deux applications : \( f : E \rightarrow F \) et \( \phi \ : \ \begin{array}{lll} \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(F) \\ A \to f(A) \end{array} \)
1) Montrer que : \( f \text{ est injective } \Leftrightarrow \phi \text{ est injective } \)
2) Montrer que : \( f \text{ est surjective } \Leftrightarrow \phi \text{ est surjective } \)
Corrigé :
1) Montrons que \(f\) est injective si et seulement si \(\phi\) est injective.
Montrons l'implication directe :
On suppose que \(f\) est injective.
Soient \(A,B\in\mathcal{P}(E)\) tels que \(\phi(A)=\phi(B)\).
On a alors \(f(A)=f(B)\).
Montrons que \(A\subset B\).
Soit \(x\in A\).On a \(f(x)\in f(A)=f(B)\).
Donc il existe \(y\in B\) tel que \(f(x)=f(y)\).
Puisque \(f\) est injective, on obtient \(x=y\).
Donc \(x\in B\).
Ainsi, \(A\subset B\).
De même, en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\), on montre que \(B\subset A\).
Par conséquent, \(A=B\).
Donc \(\phi\) est injective.
Montrons l'implication réciproque :
On suppose que \(\phi\) est injective.
Soient \(x,y\in E\) tels que \(f(x)=f(y)\).
On a alors\[\begin{aligned}\phi(\{x\})&=f(\{x\})\\&=\{f(x)\}\\&=\{f(y)\}\\&=f(\{y\})\\&=\phi(\{y\}).\end{aligned}\]
Puisque \(\phi\) est injective, on obtient \(\{x\}=\{y\}\).Donc \(x=y\).
Ainsi, \(f\) est injective.
2) Montrons que \(f\) est surjective si et seulement si \(\phi\) est surjective.
Montrons l'implication directe :
On suppose que \(f\) est surjective.
Soit \(B\in\mathcal{P}(F)\).
On pose \(A=f^{-1}(B)\).
On a \(A\in\mathcal{P}(E)\).
Puisque \(f\) est surjective, on sait que\[f(f^{-1}(B))=B.\]
Donc\[\phi(A)=f(A)=f(f^{-1}(B))=B.\]
Ainsi,\[\forall B\in\mathcal{P}(F),\quad\exists A\in\mathcal{P}(E),\quad \phi(A)=B.\]
Donc \(\phi\) est surjective.
Montrons l'implication réciproque :
On suppose que \(\phi\) est surjective.
Puisque \(F\in\mathcal{P}(F)\), il existe \(A\in\mathcal{P}(E)\) tel que \(\phi(A)=F\).
Donc \(f(A)=F\).
Or \(A\subset E\), donc \(f(A)\subset f(E)\).
Ainsi,\[F=f(A)\subset f(E)\subset F.\]
Par conséquent, \(f(E)=F\).
Donc \(f\) est surjective.