Exercice :
Soient E et F deux ensembles, \( A_{1} , A_{2} \in \mathcal{P} (E) \) et \( B_{1} , B_{2} \in \mathcal{P} (F) \)
1) Montrer que \( (A_{1} \times B_{1} ) \cap (A_{2} \times B_{2} ) = ( A_{1} \cap A_{2} ) \times ( B_{1} \cap B_{2} ) \)
2) Montrer que \( (A_{1} \times B_{1} ) \cup (A_{2} \times B_{1} ) = ( A_{1} \cup A_{2} ) \times B_{1} \)
3) A-t-on nécessairement \( (A_{1} \times B_{1} ) \cup (A_{2} \times B_{2} ) = ( A_{1} \cup A_{2} ) \times ( B_{1} \cup B_{2} ) \ ?\)
Corrigé :
1) Montrons que \((A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2)=(A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2)\).
Soit \((x,y)\in E\times F\).
On a :
\[\begin{aligned}(x,y)\in(A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2)&\Leftrightarrow (x,y)\in A_1\times B_1\text{ et }(x,y)\in A_2\times B_2\\&\Leftrightarrow (x\in A_1\text{ et }y\in B_1)\text{ et }(x\in A_2\text{ et }y\in B_2)\\&\Leftrightarrow x\in A_1\cap A_2\text{ et }y\in B_1\cap B_2\\&\Leftrightarrow (x,y)\in(A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2).\end{aligned}\]
Donc\[(A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2)=(A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2).\]
2) Montrons que \((A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_1)=(A_1\cup A_2)\times B_1\).
Soit \((x,y)\in E\times F\).
On a :\[\begin{aligned}(x,y)\in(A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_1)&\Leftrightarrow (x,y)\in A_1\times B_1\text{ ou }(x,y)\in A_2\times B_1\\&\Leftrightarrow (x\in A_1\text{ et }y\in B_1)\text{ ou }(x\in A_2\text{ et }y\in B_1)\\&\Leftrightarrow (x\in A_1\text{ ou }x\in A_2)\text{ et }y\in B_1\\&\Leftrightarrow x\in A_1\cup A_2\text{ et }y\in B_1\\&\Leftrightarrow (x,y)\in(A_1\cup A_2)\times B_1.\end{aligned}\]
Donc\[(A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_1)=(A_1\cup A_2)\times B_1.\]
3) A-t-on nécessairement \((A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)=(A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)\) ?
Cette égalité est fausse en général.
Contre-exemple :
On prend \(E=F=\{0,1\}\) et\[A_1=B_1=\{0\},\quad A_2=B_2=\{1\}.\]
On a :\[\begin{aligned}(A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)&=\{(0,0)\}\cup\{(1,1)\}\\&=\{(0,0),(1,1)\}.\end{aligned}\]
En revanche,\[\begin{aligned}(A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)&=\{0,1\}\times\{0,1\}\\&=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}.\end{aligned}\]Donc\[(A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)\neq(A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2).\]
Remarque :
On a toujours l'inclusion\[(A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)\subset(A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2).\]