Exercice :
Les applications suivantes sont-elles injectives ? Surjectives ?Bijectives ? Dans ce dernier cas, donner l'expression de la bijection réciproque.
1) \( \begin{array}{ccc} f : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & 2x \end{array} \)
2) \( \begin{array}{ccc} f : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \lfloor x \rfloor \end{array} \)
3) \( \begin{array}{ccc} f : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}_{+} \\ x & \longmapsto & |x| \end{array} \)
4) \( \begin{array}{ccc} f : [0,2] & \longrightarrow & [0,2] \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x & \text{si } x \in [0,1[,\\ 3-x & \text{si } x \in [1,2]. \end{cases} \end{array} \)
Corrigé :
1) Montrons que \(f\) est bijective.Soient \(x,y \in \mathbb{R}\).
On a :\[\begin{aligned}f(x)=y &\Leftrightarrow 2x=y\\&\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}y.\end{aligned}\]Ainsi, \(\forall y \in \mathbb{R},\ \exists ! x \in \mathbb{R},\ y=f(x)\).
L'application \(f\) est donc bijective.
De plus, pour tous \(x,y \in \mathbb{R}\), on a :\[\begin{aligned}f(x)=y &\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\\&\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}y.\end{aligned}\]
Donc\[\begin{aligned}f^{-1}:\mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R}\\x &\longmapsto \frac{1}{2}x.\end{aligned}\]
2) Montrons que \(f\) n'est pas injective.
On a \(f(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{3})=0\) et \(\frac{1}{2}\neq\frac{1}{3}\).
Donc \(f\) n'est pas injective.
Montrons que \(f\) n'est pas surjective.
On a \(\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)=\lfloor x\rfloor \neq \frac{1}{2}\).
Donc \(\frac{1}{2}\) n'a pas d'antécédent par \(f\).
On en conclut que \(f\) n'est pas surjective.
3) Montrons que \(f\) est surjective.
On a \(\forall y \in \mathbb{R}^{+},\ f(y)=|y|=y\).
Donc \(\forall y \in \mathbb{R}^{+},\ \exists x \in \mathbb{R},\ y=f(x)\).
Ainsi, \(f\) est surjective.
Montrons que \(f\) n'est pas injective.
On a \(f(-1)=f(1)=1\) et \(-1\neq 1\).
Donc \(f\) n'est pas injective.
4) Soit \(x \in [0,2]\).
Si \(x \in [0,1]\), alors \(f(x)=x\).
Donc\[\begin{aligned}(f \circ f)(x)&=f(f(x))\\&=f(x)\\&=x.\end{aligned}\]
Si \(x \in [1,2]\), alors \(f(x)=3-x\).
On a :\[\begin{aligned}1 \leq x \leq 2&\Leftrightarrow -2 \leq -x \leq -1\\&\Leftrightarrow 1 \leq 3-x \leq 2.\end{aligned}\]
Donc \(f(3-x)=3-(3-x)=x\).
Ainsi,\[\begin{aligned}(f \circ f)(x)&=f(f(x))\\&=f(3-x)\\&=x.\end{aligned}\]
On conclut finalement que\[\forall x \in [0,2],\quad (f \circ f)(x)=x.\]C'est-à-dire\[f \circ f=\operatorname{id}_{[0,2]}.\]
Donc \(f\) est bijective et \(f^{-1}=f\).