Exercice :
Soient \( E \) un ensemble et \( A, B \in \mathcal{P}(E) \).
On considère l'application \( f \) définie par \( f \ : \ \begin{array}{lll} \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B) \\X \mapsto (X\cap A, X\cap B)\end{array} \)
1) Montrer que : \( f \) est injective si et seulement si \( A \cup B=E \)
2) Montrer que : \( f \) est surjective si et seulement si \( A \cap B= \emptyset \)
Corrigé :
1)
Montrons l'implication directe :
On suppose que \(f\) est injective.
On a :\[\begin{aligned}f(A\cup B)&=((A\cup B)\cap A,(A\cup B)\cap B)\\&=(A,B).\end{aligned}\]
Et\[\begin{aligned}f(E)&=(E\cap A,E\cap B)\\&=(A,B).\end{aligned}\]
Donc \(f(A\cup B)=f(E)\).
Puisque \(f\) est injective, alors \(A\cup B=E\).
Montrons l'implication réciproque :
On suppose que \(A\cup B=E\).
Soient \(X,X'\in\mathcal{P}(E)\).
On suppose que \(f(X)=f(X')\).
Donc \((X\cap A,X\cap B)=(X'\cap A,X'\cap B)\).
Ainsi, \(X\cap A=X'\cap A\) et \(X\cap B=X'\cap B\).
On a alors :\[\begin{aligned}X&=X\cap E\\&=X\cap(A\cup B)\\&=(X\cap A)\cup(X\cap B)\\&=(X'\cap A)\cup(X'\cap B)\\&=X'\cap(A\cup B)\\&=X'.\end{aligned}\]
On vient donc de montrer que\[\forall X,X'\in\mathcal{P}(E),\quad f(X)=f(X')\Rightarrow X=X'.\]
L'application \(f\) est donc injective.
2)
Montrons l'implication directe :
On suppose que \(f\) est surjective.
Donc \(\exists X\in\mathcal{P}(E),\quad f(X)=(\varnothing,B)\).
Ainsi, \((X\cap A,X\cap B)=(\varnothing,B)\).
Donc \(X\cap A=\varnothing\) et \(X\cap B=B\).
Par conséquent, \(X\subset E\backslash A\) et \(B\subset X\).
Donc \(B\subset E\backslash A\).
D'où \(A\cap B=\varnothing\).
Montrons l'implication réciproque :
On suppose que \(A\cap B=\varnothing\).
Soit \((Y,Z)\in\mathcal{P}(A)\times\mathcal{P}(B)\).
Puisque \(Y\subset A\), \(Z\subset B\) et \(A\cap B=\varnothing\), on a \(Y\cap B=\varnothing\) et \(Z\cap A=\varnothing\).
On pose \(X=Y\cup Z\).
On a :\[\begin{aligned}X\cap A&=(Y\cup Z)\cap A\\&=(Y\cap A)\cup(Z\cap A)\\&=Y\cup\varnothing\\&=Y.\end{aligned}\]
Et on a :\[\begin{aligned}X\cap B&=(Y\cup Z)\cap B\\&=(Y\cap B)\cup(Z\cap B)\\&=\varnothing\cup Z\\&=Z.\end{aligned}\]
Donc \(f(X)=(Y,Z)\).
L'application \(f\) est donc surjective.