Cet article regroupe une série d’exercices corrigés portant sur les nombres complexes.
Il est destiné en priorité aux étudiants des classes préparatoires scientifiques (CPGE) — MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI — ainsi qu’à ceux en prépa intégrée ou en première année d’université (L1, bac+1).
Ces exercices visent à consolider la compréhension des notions fondamentales tout en préparant efficacement aux contrôles, examens et concours.
Exercice :
Déterminer les racines quatrième de \( -7+24i \)
Exercice :
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(\overline{z}=z^3\).
Exercice 1 :
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose \( z_{n}=\left(\frac{(1+i)^{5}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}\right)^{n} \).
Pour quelles valeurs de n, a-t-on \( z_{n} \in \mathbb{R}^{+}\) ?
Exercice :
Soient \(a, b, c\) trois nombres complexes de module 1.
Montrer que \(|a+b+c|=|a b+b c+a c|\)
Exercice :
Résoudre dans \( \mathbb{C}\) le système \( \left\{\begin{array}{l}|z-1| \leq 1 \\ |z+1| \leq 1\end{array}\right.\)
Exercice :
Soit \(\in \mathbb{N}, n \geq 2\).
Calculer le produit des éléments de \(\mathbb{U}_{n}\).
Exercice :
Soit \( n\in \mathbb{N}, n \geq 2\).
Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l'équation : \( 1+2 z+2 z^{2}+\cdots+2 z^{n-1}+z^{n}=0\)
Exercice :
Résoudre dans \( \mathbb{C}\) l'équation : \( (E) : (z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1=0\)
Exercice :
Résoudre dans \( \mathbb{C}\) l'équation : \( (E) : (z+i)^{n}=(z-i)^{n} \text{ où } n \in \mathbb{N}, \ n \geq 2\)
Exercice :
Résoudre dans \( \mathbb{C}\) l'équation : \( 1+\frac{z+i}{z-i}+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^{2}+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^{3}=0 \)
Exercice :
On pose \( \omega=e^{\frac{2 i \pi}{7}} \text{ et } X=\omega+\omega^{2}+\omega^{4} \text{ et } Y=\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6}\)
1) Montrer que \( Y=\bar{X}\) et que \( Im(X)>0 \)
2) Calculer \( X+Y \text{ et } X Y. \) En déduire X et Y.
3) Exprimer \( Re( X) \) en fonction de \( \cos \frac{2 \pi}{7} \)
4) En déduire que \( \cos \frac{2 \pi}{7} \) est une racine du polynôme \( 8 X^{3}+4 X^{2}-4 X-1 \).
Exercice :
Soient \( n \in \mathbb{N}\) et \( \theta \in \mathbb{R}.\)
Calculer : \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \cos (k \theta)\text{ et } \sum_{k=0}^{n} \sin (k \theta)\)
Exercice :
Soient \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\).
Calculer \[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \sin(kx).\] et \[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos(kx).\]
Exercice :
Soit \( z \in \mathbb{U}\). ( C'est-à-dire z est un nombre complexe de module 1).
Montrer que : \( 1 \leq|1+z| \text{ ou } 1 \leq\left|1+z^{2}\right|\)
Exercice :
1) Calculer : \( (1+i)(1+2 i)(1+3 i)\)
2) En déduire : \( \arctan (1)+\arctan (2)+\arctan (3) \)
Exercice :
1) Montrer que : \( \forall z \in \mathbb{C}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}(|Re(z)|+|Im(z)|) \leq|z| \leq|Re(z)|+|Im(z)| \)
2) Étudier le cas d'égalité.
Exercice :
1) Montrer que, pour tous \( z, z' \in \mathbb{C} \), on a :
\(
2\left(|z|^{2} + |z'|^{2}\right) = |z + z'|^{2} + |z - z'|^{2}.
\)
2) Interpréter géométriquement ce résultat.
Exercice :
1) Montrer que \( \forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C},|z|+\left|z^{\prime}\right| \leq\left|z+z^{\prime}\right|+\left|z-z^{\prime}\right|\)
2) Étudier le cas d'égalité.
Exercice :
Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), et pour tout \( (z_1, \ldots, z_n) \in (\mathbb{C}^*)^n \), on a :
\[\left|\sum_{k=1}^{n} z_k\right| = \sum_{k=1}^{n} |z_k|\quad \Longleftrightarrow \quad\forall k \in \{1, \dots, n\},\; \arg(z_k) \equiv \arg(z_1) [2\pi]\]
Exercice :
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(3\).
Montrer que les images des racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité du plan complexe.
Exercice :
Soient \( A, B, C \) trois points du plan complexe d'affixes respectives \( a, b, c \).
1) Montrer que le triangle \( ABC \) est équilatéral direct si et seulement si \( a + j b + j^{2} c = 0 \), où \( j = e^{2i\pi/3} \) est une racine cubique de l’unité.
2) Montrer que le triangle \( ABC \) est équilatéral si et seulement si
\(
a^{2} + b^{2} + c^{2} - (ab + ac + bc) = 0.
\)
Exercice :
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(3\).
Montrer que les images des racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité du plan complexe.