Exercice :
Soit \(\in \mathbb{N}, n \geq 2\).
Calculer le produit des éléments de \(\mathbb{U}_{n}\).
Corrigé :
On pose \(\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}\).
Les racines \(n\)-ièmes de l’unité sont les \(\omega^k\), avec\(k\in\{0,1,\ldots,n-1\}\).
Leur produit est :\[\begin{aligned}\prod_{k=0}^{n-1}\omega^k&=\omega^{\sum_{k=0}^{n-1}k}\\&=\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}\\&=\left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}}\\&=e^{i(n-1)\pi}\\&=(-1)^{n-1}.\end{aligned}\]