Exercice :
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose \( z_{n}=\left(\frac{(1+i)^{5}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}\right)^{n} \).
Pour quelles valeurs de n, a-t-on \( z_{n} \in \mathbb{R}^{+}\) ?
Corrigé :
On a :
\[
\begin{aligned}
1+i
&=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
&=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\\
&=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}.
\end{aligned}
\]
De même,
\[
\begin{aligned}
\sqrt{3}-i
&=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\\
&=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
-i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\\
&=2e^{-i\frac{\pi}{6}}.
\end{aligned}
\]
Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a :
\[
\begin{aligned}
z_n\in\mathbb{R}^{+}
&\Leftrightarrow
\left(\frac{(1+i)^5}{(\sqrt{3}-i)^3}\right)^n
\in\mathbb{R}^{+}\\
&\Leftrightarrow
\left(
\frac{\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^5}
{\left(2e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)^3}
\right)^n
\in\mathbb{R}^{+}\\
&\Leftrightarrow
\left(
\frac{(\sqrt{2})^5}{2^3}
e^{i\frac{5\pi}{4}+i\frac{\pi}{2}}
\right)^n
\in\mathbb{R}^{+}\\
&\Leftrightarrow
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\frac{7\pi}{4}}\right)^n
\in\mathbb{R}^{+}\\
&\Leftrightarrow
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^n
\in\mathbb{R}^{+}\\
&\Leftrightarrow
e^{-i\frac{n\pi}{4}}\in\mathbb{R}^{+}\\
&\Leftrightarrow
-\frac{n\pi}{4}\equiv 0[2\pi]\\
&\Leftrightarrow
\exists k\in\mathbb{N},\quad
-\frac{n\pi}{4}=2(-k)\pi\\
&\Leftrightarrow
\exists k\in\mathbb{N},\quad n=8k\\
&\Leftrightarrow
n\in\{8k\mid k\in\mathbb{N}\}.
\end{aligned}
\]