Exercice :
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(\overline{z}=z^3\).
Corrigé
On veut résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(\overline{z}=z^3\).
Analyse :
On suppose qu'il existe \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(\overline{z}=z^3\).
On a \(|\overline{z}|=|z^3|\), d'où
\[
|z|=|z|^3.
\]
Ainsi,
\[
|z|(1-|z|^2)=0.
\]
Donc \(|z|=0\) ou \(|z|=1\).
Si \(|z|=0\), alors \(z=0\).
Si \(|z|=1\),
Puisque \(\overline{z}=z^3\) alors \(\overline{z}z=z^4\), c'est-à-dire \(|z|^2=z^4\).
Comme \(|z|^2=z\overline{z}=1\).
Donc \[
z^4=1.
\]
Donc \(z\) est une racine quatrième de l'unité, c'est-à-dire
\[
z=1,\quad z=-1,\quad z=i
\quad \text{ou} \quad z=-i.
\]
Synthèse :
Les nombres complexes \(0\), \(1\), \(-1\), \(i\) et \(-i\) sont des solutions de l'équation \(\overline{z}=z^3\).
Conclusion :
\[
S=\{0\,;\,1\,;\,-1\,;\,i\,;\,-i\}.
\]