Exercice :
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(3\).
Montrer que les images des racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité du plan complexe.
Corrigé :
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés et tous les angles sont égaux.
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(3\).
Pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), on note \(M_k\) le point du plan complexe d'affixe \(\omega^k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}\).
On a : \[\forall k \in \mathbb{Z}, \quad OM_k=\left|e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right|=1.\]
Donc tous les points \(M_k\) appartiennent au cercle unité.
De plus, pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), on a :\[\begin{aligned}M_kM_{k+1}&=\left|\omega^{k+1}-\omega^k\right|\\&=\left|\omega^k\right||\omega-1|\\&=|\omega-1|.\end{aligned}\]Par ailleurs,\[\begin{aligned}\bar{(\overrightarrow{M_kM_{k-1}},\overrightarrow{M_kM_{k+1}})}&\equiv \arg\left(\frac{\omega^{k+1}-\omega^k}{\omega^{k-1}-\omega^k}\right)\ [2\pi]\\&\equiv \arg\left(\frac{\omega^k(\omega-1)}{\omega^{k-1}(1-\omega)}\right)\ [2\pi]\\&\equiv \arg(-\omega)\ [2\pi].\end{aligned}\]
Ainsi, le polygone \(M_0M_1\cdots M_{n-1}\) a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure. Il s'agit donc d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.