Exercice :
Soient \(a, b, c\) trois nombres complexes de module 1.
Montrer que \(|a+b+c|=|a b+b c+a c|\)
Corrigé :
On a \(|a|=|b|=|c|=1\), donc \(\overline{a}=\frac{1}{a}\), \(\overline{b}=\frac{1}{b}\) et \(\overline{c}=\frac{1}{c}\).\[\begin{aligned}|ab+bc+ac|&=\frac{|ab+bc+ac|}{|abc|}\\&=\left|\frac{ab+bc+ac}{abc}\right|\\&=\left|\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right|\\&=|\overline{c}+\overline{a}+\overline{b}|\\&=|\overline{a+b+c}|\\&=|a+b+c|.\end{aligned}\]