Exercice :
On pose \( \omega=e^{\frac{2 i \pi}{7}} \text{ et } X=\omega+\omega^{2}+\omega^{4} \text{ et } Y=\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6}\)
1) Montrer que \( Y=\bar{X}\) et que \( Im(X)>0 \)
2) Calculer \( X+Y \text{ et } X Y. \) En déduire X et Y.
3) Exprimer \( Re( X) \) en fonction de \( \cos \frac{2 \pi}{7} \)
4) En déduire que \( \cos \frac{2 \pi}{7} \) est une racine du polynôme \( 8 X^{3}+4 X^{2}-4 X-1 \).
Corrigé :
1) On a : \[\begin{aligned}\overline{X}&=\overline{\omega+\omega^2+\omega^4}\\&=\overline{\omega}+\overline{\omega}^2+\overline{\omega}^4\\&=\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega^4}\\&=\frac{\omega^7}{\omega}+\frac{\omega^7}{\omega^2}+\frac{\omega^7}{\omega^4}\\&=\omega^6+\omega^5+\omega^3.\end{aligned}\]\[\begin{aligned}\operatorname{Im}(X)&=\operatorname{Im}(\omega+\omega^2+\omega^4)\\&=\operatorname{Im}\left(\omega+\omega^2+\frac{1}{\omega^3}\right)\\&=\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right)\\&=\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right).\end{aligned}\]
Puisque la fonction sinus est strictement croissante sur\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), on a\[\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)>0.\]
De plus, puisque \(\frac{4\pi}{7}\in[0,\pi]\), on a\[\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)\geq 0.\]Donc\[\operatorname{Im}(X)>0.\]
2) On a :\[\begin{aligned}1+X+Y&=1+w+w^2+\cdots+w^6\\&=\frac{w^7-1}{w-1}\\&=\frac{1-1}{w-1}\\&=0.\end{aligned}\]
Donc \(X+Y=-1\).
Et on a :\[\begin{aligned}XY&=(w+w^2+w^4)(w^3+w^5+w^6)\\&=w^4+w^6+w^7+w^5+w^7+w^8\\&\quad +w^7+w^9+w^{10}\\&=3+w+w^2+w^3+w^4+w^5+w^6\\&=2+(1+w+w^2+w^3+w^4+w^5+w^6)\\&=2.\end{aligned}\]
On a donc :\[\begin{cases}X+Y=-1,\\XY=2.\end{cases}\]
Ainsi, \(X\) et \(Y\) sont les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation\[(E):\quad z^2+z+2=0.\]
Le discriminant est :\[\Delta=1-8=-7<0.\]
Les deux solutions de \((E)\) sont :\[z_1=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}\quad\text{et}\quad z_2=\frac{-1-i\sqrt{7}}{2}.\]
Puisque \(\operatorname{Im}(X)>0\), on obtient :\[X=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{7}}{2}\quad\text{et}\quad Y=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{7}}{2}.\]
3) \[\begin{aligned}\operatorname{Re}(X)&=\operatorname{Re}\left(w+w^2+w^4\right)\\&=\operatorname{Re}\left(w+w^2+\frac{1}{w^3}\right)\\&=\operatorname{Re}\Bigg[\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\\&\quad+\left(\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right)^2\\&\quad+\left(\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)-i\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right)^3\Bigg]\\&=\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)-\sin^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)\\&\quad+\cos^3\left(\frac{2\pi}{7}\right)-3\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)\sin^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)\\&=\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)-1+\cos^3\left(\frac{2\pi}{7}\right)\\&\quad-3\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)\left(1-\cos^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right)\\&=-1-2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+2\cos^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)+4\cos^3\left(\frac{2\pi}{7}\right).\end{aligned}\]
4) On a \(X=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{7}}{2}\).
Donc \(\operatorname{Re}(X)=-\frac{1}{2}\).
Ainsi,\[-\frac{1}{2}=-1-2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+2\cos^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)+4\cos^3\left(\frac{2\pi}{7}\right).\]
Donc,\[8\cos^3\left(\frac{2\pi}{7}\right)+4\cos^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)-4\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)-1=0.\]
On conclut alors que \(\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)\) est une racine du polynôme\[P(X)=8X^3+4X^2-4X-1.\]