Exercice :
1) Calculer : \( (1+i)(1+2 i)(1+3 i)\)
2) En déduire : \( \arctan (1)+\arctan (2)+\arctan (3) \)
Corrigé :
1) \[ \begin{aligned} (1+i)(1+2i)(1+3i) &= (1+2i+i-2)(1+3i)\\ &= (-1+3i)(1+3i)\\ &= (3i)^2-1\\ &= -10. \end{aligned} \]
2) Déterminons \(\operatorname{Arctan}(1)+\operatorname{Arctan}(2)+\operatorname{Arctan}(3)\).
Pour tout \(k\in\{1,2,3\}\), on a\[1+ki=\sqrt{1+k^2}\left(\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}+\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}i\right).\]
Ainsi, \[1+ki=\sqrt{1+k^2}\left(\cos(\theta_k)+i\sin(\theta_k)\right),\quad \text{avec } \theta_k\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\]
De plus,\[\tan(\theta_k)=\frac{\sin(\theta_k)}{\cos(\theta_k)}=k.\]Donc \(\theta_k=\operatorname{Arctan}(k)\).Par conséquent,\[\operatorname{Arctan}(1)+\operatorname{Arctan}(2)+\operatorname{Arctan}(3)=\theta_1+\theta_2+\theta_3.\]On a alors\[\begin{aligned}\theta_1+\theta_2+\theta_3&\equiv \arg(1+i)+\arg(1+2i)+\arg(1+3i)[2\pi]\\&\equiv \arg\bigl((1+i)(1+2i)(1+3i)\bigr)[2\pi]\\&\equiv \arg(-10)[2\pi]\\&\equiv \pi[2\pi].\end{aligned}\]Puisque, pour tout \(k\in\{1,2,3\}\),\[\theta_k\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[,\]on obtient\[\theta_1+\theta_2+\theta_3\in\left[0,\frac{3\pi}{2}\right[.\]Donc \(\theta_1+\theta_2+\theta_3=\pi\).
Finalement,\[\boxed{\operatorname{Arctan}(1)+\operatorname{Arctan}(2)+\operatorname{Arctan}(3)=\pi}.\]