Cet article propose une sélection d’exercices corrigés autour de la notion fondamentale de relations binaires en mathématiques. Il s’adresse principalement aux étudiants des classes préparatoires scientifiques (CPGE) — notamment en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI — ainsi qu’à ceux en prépas intégrées ou en première année d’université (L1, bac+1). Ces exercices ont pour objectif de renforcer la compréhension des notions de base tout en accompagnant la préparation aux évaluations et concours.
La première partie est dédiée aux relations d’équivalence, tandis que la seconde partie traite des relations d’ordre.
Exercices sur les relations d'équivalence
Exercice 1 :
On définit sur \( \mathbb{R} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=x-y \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence sur \( \mathbb{R} \)
2) Déterminer la classe d'équivalence d'un élément \( x \in \mathbb{R} \)
Exercice 2 :
Soit \( \mathcal{R} \) une relation binaire définie sur \( \mathbb{Z} \) par : \( \forall(n, m) \in \mathbb{Z}^{2}, \ n \mathcal{R} m \Leftrightarrow n+m \text{ est un entier pair } \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence sur \( \mathbb{Z}. \)
2) Déterminer les classes d'équivalence de cette relation.
Exercice 3 :
Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \) avec \( n \geq 2 \).
On définit la relation de congruence modulo n dans \( \mathbb{Z} \), notée \( \equiv [n] \), par :
\( \forall a, b \in \mathbb{Z}, a \equiv b[n] \Leftrightarrow \exists \mathrm{k} \in \mathbb{Z}, a=b+k n \)
1) Montrer que \( \equiv[n] \) est une relation d'équivalence dans \( \mathbb{Z}. \)
On note \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \) l'ensemble de toutes les classes d'équivalences de la relation \( \equiv[n] \). Autrement dit \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\mathbb{Z} / \equiv[n]\)
2) Montrer que \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\{\overline{0} ; \overline{1} ; \ldots ; \overline{n-1}\} \)
3) Montrer que \( card (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})=n \)
Exercice 4 :
Soit \( E \) un ensemble et \( A \in \mathcal{P}(E) \).
On définit une relation binaire \( \mathcal{R} \text{ sur } \mathcal{P}(E) \) par : \( \forall X, \ Y \in \mathcal{P}(E), \ X \mathcal{R} Y \Leftrightarrow X \cup A = Y \cup A \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence.
2) Déterminer : \( cl(\emptyset ), \ cl(A) \text{ et } cl(E) \)
Exercice 5 :
On définit sur \( \mathbb{R} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x^{3}-y^{3}=3(x-y) \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence sur \( \mathbb{R} \)
2) Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), déterminer le cardinal de \( cl(x) \), la classe d'équivalence de \( x \)
Exercice 6 :
On note \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) l'ensemble des applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et \(B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) l'ensemble des bijections de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
On définit une relation binaire \(\mathcal{R}\) sur \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) par :\[\forall f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),\quad f\mathcal{R}g\Leftrightarrow\exists h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R}),\quad g=h^{-1}\circ f\circ h.\]
1) Montrer que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence sur \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\).
2) Déterminer la classe d'équivalence de la fonction nulle pour cette relation.
3) Montrer que :\[\forall (f,g)\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\times\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),\quad f\mathcal{R}g\Rightarrow g\text{ est bijective}.\]
4)Deux applications bijectives appartiennent-elles nécessairement à la même classe d'équivalence ? Justifier la réponse.
5) Montrer que :\[\forall (f,g)\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})^2,\quad f\mathcal{R}g\Rightarrow f^{-1}\mathcal{R}g^{-1}.\]
6) Montrer que :\[\forall (f,g)\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})^2,\quad f\mathcal{R}g\Rightarrow\forall n\in\mathbb{N},\quad f^n\mathcal{R}g^n.\]On rappelle que \(f^n\) désigne la composée de \(f\) avec elle-même \(n\) fois, avec la convention \(f^0=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}\).
Exercices sur les relations d’ordre
Exercice 7 :
On définit sur \( \mathbb{R}_{+}^{*} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, y=x^{n} \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'ordre sur \( \mathbb{R}_{+}^{*}\)
2) Cet ordre est-il total ?
Exercice 8 :
Soit \( f \) une application injective de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \). On définit sur \( \mathbb{R}\) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par :
\( \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad x \mathcal{R} y \Leftrightarrow f(x) \leq f(y) \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'ordre sur \( \mathbb{R} \).
2) L'ordre est-il total ou partiel ?
Exercice 9 :
On pose \( E = \left\{ (I,f) \mid I \text{ est un intervalle de } \mathbb{R} \text{ et } f \in \mathcal{F}(I,\mathbb{R} )\right\} \)
On définit sur E la relation binaire \( \leq \) par : \( \forall (I,f), \ (J,g) \in E, \ (I,f) \leq (J,g) \Leftrightarrow I \subset J \text{ et } g_{|I} =f \)
1) Montrer que \( \leq \) est une relation d'ordre sur E.
2) Cet ordre est-il total ?
Exercice 10 :
On définit sur \( \mathbb{C} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall z, z' \in \mathbb{C}, \ z \mathcal{R} z' \Leftrightarrow ( Re(z) \leq Re(z') \text{ et } Im(z) \leq Im(z') \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'ordre sur \( \mathbb{C} \)
2) Cet ordre est-il total ?
Exercice 11 :
On définit sur \( \mathbb{C} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall z, z' \in \mathbb{C}, \ z \mathcal{R} z' \Leftrightarrow ( Re(z) < Re(z') ) \text{ ou } ( Re(z) = Re(z') \text{ et } Im(z) \leq Im(z') ) \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'ordre sur \( \mathbb{C} \)
2) Cet ordre est-il total ou partiel ?