Exercice :
On définit sur \( \mathbb{C} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall z, z' \in \mathbb{C}, \ z \mathcal{R} z' \Leftrightarrow ( Re(z) \leq Re(z') \text{ et } Im(z) \leq Im(z') \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'ordre sur \( \mathbb{C} \)
2) Cet ordre est-il total ?
Corrigé :
1) Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{C}\).
Réflexivité :
Soit \(z\in\mathbb{C}\).
On a
\[
\operatorname{Re}(z)\leq\operatorname{Re}(z)
\quad\text{et}\quad
\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z).
\]
Donc \(z\mathcal{R}z\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est réflexive.
Antisymétrie :
Soient \(z,z'\in\mathbb{C}\) tels que \(z\mathcal{R}z'\) et \(z'\mathcal{R}z\).
On a alors
\[
\operatorname{Re}(z)\leq\operatorname{Re}(z')
\quad\text{et}\quad
\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z')
\]
et
\[
\operatorname{Re}(z')\leq\operatorname{Re}(z)
\quad\text{et}\quad
\operatorname{Im}(z')\leq\operatorname{Im}(z).
\]
Par antisymétrie de la relation \(\leq\) sur \(\mathbb{R}\), on obtient
\[
\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(z')
\quad\text{et}\quad
\operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}(z').
\]
Donc \(z=z'\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est antisymétrique.
Transitivité :
Soient \(z,z',z''\in\mathbb{C}\) tels que \(z\mathcal{R}z'\) et \(z'\mathcal{R}z''\).
On a alors
\[
\operatorname{Re}(z)\leq\operatorname{Re}(z')
\leq\operatorname{Re}(z'')
\]
et
\[
\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z')
\leq\operatorname{Im}(z'').
\]
Par conséquent,
\[
\operatorname{Re}(z)\leq\operatorname{Re}(z'')
\quad\text{et}\quad
\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z'').
\]
Donc \(z\mathcal{R}z''\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est transitive.
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{C}\).
2) Cet ordre est-il total ?
La réponse est non. Voici un contre exemple :
Considérons \(z=1\) et \(z'=i\).
On a
\[
\operatorname{Re}(z)=1>0=\operatorname{Re}(z')
\]
et
\[
\operatorname{Im}(z)=0<1=\operatorname{Im}(z').
\]
Ainsi, \(z\) et \(z'\) ne sont pas comparables pour la relation \(\mathcal{R}\).
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre partiel, mais non total, sur \(\mathbb{C}\).