Exercice :
On définit sur \( \mathbb{R} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=x-y \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence sur \( \mathbb{R} \)
2) Déterminer la classe d'équivalence d'un élément \( x \in \mathbb{R} \)
Corrigé :
1. Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{R}\).
Pour tous \(x,y\in\mathbb{R}\), on a\[x\mathcal{R}y\Leftrightarrow x^2-x=y^2-y.\]
Réflexivité :
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \(x^2-x=x^2-x\), donc \(x\mathcal{R}x\).
Symétrie :
Soient \(x,y\in\mathbb{R}\) tels que \(x\mathcal{R}y\).
Alors \(x^2-x=y^2-y\), d'où \(y^2-y=x^2-x\).
Ainsi, \(y\mathcal{R}x\).
Transitivité :
Soient \(x,y,z\in\mathbb{R}\) tels que \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}z\).
Alors\[x^2-x=y^2-y=z^2-z.\]
Donc \(x\mathcal{R}z\).
Par conséquent, \(\boxed{\mathcal{R}\text{ est une relation d'équivalence sur }\mathbb{R}.}\)
2. Déterminons la classe d'équivalence de \(x\in\mathbb{R}\).
Soit \(x\in\mathbb{R}\).
On a\[\begin{aligned}
\overline{x}&=\{y\in\mathbb{R}\mid x\mathcal{R}y\}\\
&=\{y\in\mathbb{R}\mid x^2-y^2=x-y\}\\
&=\{y\in\mathbb{R}\mid (x-y)(x+y-1)=0\}\\
&=\{y\in\mathbb{R}\mid y=x\text{ ou }y=1-x\}.
\end{aligned}\]Ainsi,\[\boxed{\forall x\in\mathbb{R},\quad \overline{x}=\{x,1-x\}.}\]
Remarque :
Pour \(x=\dfrac12\), la classe d'équivalence est réduite à un singleton :\[\overline{\frac12}=\left\{\frac12\right\}.\]