Exercice :
On note \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) l'ensemble des applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et \(B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) l'ensemble des bijections de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
On définit une relation binaire \(\mathcal{R}\) sur \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) par :\[\forall f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),\quad f\mathcal{R}g\Leftrightarrow\exists h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R}),\quad g=h^{-1}\circ f\circ h.\]
1) Montrer que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence sur \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\).
2) Déterminer la classe d'équivalence de la fonction nulle pour cette relation.
3) Montrer que :\[\forall (f,g)\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\times\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),\quad f\mathcal{R}g\Rightarrow g\text{ est bijective}.\]
4)Deux applications bijectives appartiennent-elles nécessairement à la même classe d'équivalence ? Justifier la réponse.
5) Montrer que :\[\forall (f,g)\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})^2,\quad f\mathcal{R}g\Rightarrow f^{-1}\mathcal{R}g^{-1}.\]
6) Montrer que :\[\forall (f,g)\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})^2,\quad f\mathcal{R}g\Rightarrow\forall n\in\mathbb{N},\quad f^n\mathcal{R}g^n.\]On rappelle que \(f^n\) désigne la composée de \(f\) avec elle-même \(n\) fois, avec la convention \(f^0=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}\).
Corrigé :
1) Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence.
Réflexivité :
Soit \(f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\).
On considère \(h=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}\).
On a \(h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) et
\[
h^{-1}\circ f\circ h
=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}\circ f\circ\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}
=f.
\]
Donc \(f\mathcal{R}f\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est réflexive.
Symétrie :
Soient \(f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tels que \(f\mathcal{R}g\).
Il existe donc \(h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tel que
\[
g=h^{-1}\circ f\circ h.
\]
En composant à gauche par \(h\) et à droite par \(h^{-1}\), on obtient
\[
f=h\circ g\circ h^{-1}.
\]
Or \(h^{-1}\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) et \(h=(h^{-1})^{-1}\).
Donc \(g\mathcal{R}f\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est symétrique.
Transitivité :
Soient \(f,g,k\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tels que \(f\mathcal{R}g\) et \(g\mathcal{R}k\).
Il existe \(h_1,h_2\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tels que
\[
g=h_1^{-1}\circ f\circ h_1
\quad\text{et}\quad
k=h_2^{-1}\circ g\circ h_2.
\]
Par conséquent,
\[
\begin{aligned}
k
&=h_2^{-1}\circ(h_1^{-1}\circ f\circ h_1)\circ h_2\\
&=(h_1\circ h_2)^{-1}\circ f\circ(h_1\circ h_2).
\end{aligned}
\]
Or \(h_1\circ h_2\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\).
Donc \(f\mathcal{R}k\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est transitive.
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence sur \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\).
2) Déterminons la classe d'équivalence de la fonction nulle.
On note \(0_{\mathbb{R}}\) la fonction nulle définie sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\).
On a
\[
\begin{aligned}
g\in cl(0_{\mathbb{R}})
&\Leftrightarrow 0_{\mathbb{R}}\mathcal{R}g\\
&\Leftrightarrow \exists h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R}),\quad
g=h^{-1}\circ 0_{\mathbb{R}}\circ h.
\end{aligned}
\]
Or, pour tout \(x\in\mathbb{R}\),
\[
g(x)=h^{-1}(0_{\mathbb{R}}(h(x)))=h^{-1}(0).
\]
Donc \(g\) est une fonction constante.
Réciproquement, soit \(g\) une fonction constante, de valeur \(c\in\mathbb{R}\).
On considère la bijection \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par
\[
\forall x\in\mathbb{R},\quad h(x)=x-c.
\]
On a alors
\[
\forall x\in\mathbb{R},\quad h^{-1}(x)=x+c.
\]
Ainsi,
\[
\forall x\in\mathbb{R},\quad
(h^{-1}\circ 0_{\mathbb{R}}\circ h)(x)=h^{-1}(0)=c=g(x).
\]
Donc \(0_{\mathbb{R}}\mathcal{R}g\).
Par conséquent,
\[
\boxed{cl(0_{\mathbb{R}})=\{g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid g\text{ est constante}\}}.
\]
3) Montrons que \(f\mathcal{R}g\) et \(f\) bijective impliquent que \(g\) est bijective.
Soient \(f\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) et \(g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tels que \(f\mathcal{R}g\).
Il existe donc \(h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tel que
\[
g=h^{-1}\circ f\circ h.
\]
Puisque \(f\), \(h\) et \(h^{-1}\) sont bijectives, leur composée \(g\) est également bijective.
Ainsi,
\[
\boxed{f\mathcal{R}g\text{ et }f\text{ bijective}\Rightarrow g\text{ bijective}}.
\]
4) Deux applications bijectives appartiennent-elles nécessairement à la même classe d'équivalence ?
La réponse est non. Voici un contre-exemple.
Considérons les deux applications \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définies par
\[
f=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}
\quad\text{et}\quad
g=2\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}.
\]
Ces deux applications sont bijectives.
Supposons, par l'absurde, que \(f\mathcal{R}g\).
Il existe alors \(h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) telle que
\[
g=h^{-1}\circ f\circ h.
\]
Or \(f=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}\), donc
\[
\begin{aligned}
g
&=h^{-1}\circ\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}\circ h\\
&=h^{-1}\circ h\\
&=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}.
\end{aligned}
\]
Ainsi,
\[
2\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}},
\]
ce qui est absurde.
Par conséquent, \(f\) et \(g\) ne sont pas équivalentes pour la relation \(\mathcal{R}\).
Conclusion :
Deux applications bijectives n'appartiennent pas nécessairement à la même classe d'équivalence.
5) Montrons que \(f\mathcal{R}g\Rightarrow f^{-1}\mathcal{R}g^{-1}\).
Soient \(f,g\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tels que \(f\mathcal{R}g\).
Il existe donc \(h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tel que
\[
g=h^{-1}\circ f\circ h.
\]
En prenant les applications réciproques, on obtient
\[
\begin{aligned}
g^{-1}
&=(h^{-1}\circ f\circ h)^{-1}\\
&=h^{-1}\circ f^{-1}\circ(h^{-1})^{-1}\\
&=h^{-1}\circ f^{-1}\circ h.
\end{aligned}
\]
Puisque \(h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\), on en déduit que
\[
\boxed{f^{-1}\mathcal{R}g^{-1}}.
\]
6) Montrons que \(f\mathcal{R}g\Rightarrow\forall n\in\mathbb{N},\ f^n\mathcal{R}g^n\).
Soient \(f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tels que \(f\mathcal{R}g\).
Il existe donc \(h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\) tel que
\[
g=h^{-1}\circ f\circ h.
\]
Montrons par récurrence que
\[
\forall n\in\mathbb{N},\quad
g^n=h^{-1}\circ f^n\circ h.
\]
Initialisation :
Pour \(n=0\), on a
\[
g^0=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}
=h^{-1}\circ\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}\circ h
=h^{-1}\circ f^0\circ h.
\]
La propriété est donc vraie au rang \(0\).
Hérédité :
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
Supposons que
\[
g^n=h^{-1}\circ f^n\circ h.
\]
On a alors
\[
\begin{aligned}
g^{n+1}
&=g^n\circ g\\
&=(h^{-1}\circ f^n\circ h)\circ(h^{-1}\circ f\circ h)\\
&=h^{-1}\circ f^n\circ(h\circ h^{-1})\circ f\circ h\\
&=h^{-1}\circ f^n\circ f\circ h\\
&=h^{-1}\circ f^{n+1}\circ h.
\end{aligned}
\]
La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
Conclusion :
Par récurrence,
\[
\forall n\in\mathbb{N},\quad
g^n=h^{-1}\circ f^n\circ h.
\]
Puisque \(h\in B(\mathbb{R},\mathbb{R})\), on en déduit que
\[
\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\quad f^n\mathcal{R}g^n}.
\]