Exercice :
Soient E, F, G trois ensembles non vides, \( f \in \mathcal{F}(E,F), \ et \ \ g \in \mathcal{F}(F,G) \)
1) Montrer que : \( f \ et \ g \ injectives \ \Rightarrow g \circ f \ injective \)
2) Montrer que : \( f \ et \ g \ surjectives \ \Rightarrow g \circ f \ surjective \)
3) Montrer que : \( f \ et \ g \ bijectives \ \Rightarrow g \circ f \ bijective \)
4) Montrer que : \( g \circ f \ injective \Rightarrow f \ injective \)
5) Montrer que : \( g \circ f \ surjective \Rightarrow g \ surjective \)
Corrigé :
1) Montrons que si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(g\circ f\) est injective.
On suppose que \(f\) et \(g\) sont injectives.
Soient \(x,x'\in E\) tels que \((g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')\).
On a alors :\[\begin{aligned}(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')&\Rightarrow g(f(x))=g(f(x'))\\&\Rightarrow f(x)=f(x')\quad \text{(car \(g\) est injective)}\\&\Rightarrow x=x'\quad \text{(car \(f\) est injective)}.\end{aligned}\]
Donc \(g\circ f\) est injective.
2) Montrons que si \(f\) et \(g\) sont surjectives, alors \(g\circ f\) est surjective.
On suppose que \(f\) et \(g\) sont surjectives.
Soit \(z\in G\).
Puisque \(g\) est surjective, il existe \(y\in F\) tel que \(g(y)=z\).
Puisque \(f\) est surjective, il existe \(x\in E\) tel que \(f(x)=y\).
On a alors :\[(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z.\]
Ainsi,\[\forall z\in G,\quad \exists x\in E,\quad (g\circ f)(x)=z.\]
Donc \(g\circ f\) est surjective.
3) Montrons que si \(f\) et \(g\) sont bijectives, alors \(g\circ f\) est bijective.
On suppose que \(f\) et \(g\) sont bijectives.
Puisque \(f\) et \(g\) sont injectives, d'après la question 1, \(g\circ f\) est injective.
Puisque \(f\) et \(g\) sont surjectives, d'après la question 2, \(g\circ f\) est surjective.
Par conséquent, \(g\circ f\) est bijective.
4) Montrons que si \(g\circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
On suppose que \(g\circ f\) est injective.
Soient \(x,x'\in E\) tels que \(f(x)=f(x')\).
En appliquant \(g\) aux deux membres, on obtient :\[\begin{aligned}f(x)=f(x')&\Rightarrow g(f(x))=g(f(x'))\\&\Rightarrow (g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')\\&\Rightarrow x=x'\quad \text{(car \(g\circ f\) est injective)}.\end{aligned}\]
Donc \(f\) est injective.
5) Montrons que si \(g\circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.
On suppose que \(g\circ f\) est surjective.
Soit \(z\in G\).
Puisque \(g\circ f\) est surjective, il existe \(x\in E\) tel que\[(g\circ f)(x)=z.\]
Donc \(g(f(x))=z\).
En posant \(y=f(x)\in F\), on obtient \(g(y)=z\).
Ainsi,\[\forall z\in G,\quad \exists y\in F,\quad g(y)=z.\]
Donc \(g\) est surjective.