Théorème de Cantor : Non-existence d’une surjection d’un ensemble sur l’ensemble de ses parties

On suppose par l'absurde qu'il existe une application surjective \(f\) de \(E\) vers \(\mathcal{P}(E)\).
On pose \(A=\{x\in E\mid x\notin f(x)\}\).
On a \(A\subset E\), donc \(A\in\mathcal{P}(E)\).
Puisque \(f\) est surjective, il existe \(x\in E\) tel que \(f(x)=A\).
1er cas : Si \(x\in A\)
Puisque \(f(x)=A\) et \(x\in A\), alors \(x\in f(x)\).
Or, par définition de l'ensemble \(A\), on a \(x\notin f(x)\), ce qui est absurde.
2e cas : Si \(x\notin A\)
Puisque \(f(x)=A\) et \(x\notin A\), alors \(x\notin f(x)\).
Donc, par définition de l'ensemble \(A\), on a \(x\in A\), ce qui est absurde.
On conclut qu'il n'existe aucune application surjective de \(E\) vers \(\mathcal{P}(E)\).