Exercice :
On définit sur \( \mathbb{C} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall z, z' \in \mathbb{C}, \ z \mathcal{R} z' \Leftrightarrow ( Re(z) < Re(z') ) \text{ ou } ( Re(z) = Re(z') \text{ et } Im(z) \leq Im(z') ) \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'ordre sur \( \mathbb{C} \)
2) Cet ordre est-il total ou partiel ?
Corrigé :
1) Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{C}\).
Réflexivité :
Soit \(z\in\mathbb{C}\).
On a
\[
\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(z)
\quad\text{et}\quad
\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z).
\]
Donc \(z\mathcal{R}z\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est réflexive.
Antisymétrie :
Soient \(z,z'\in\mathbb{C}\) tels que \(z\mathcal{R}z'\) et \(z'\mathcal{R}z\).
Par définition de \(\mathcal{R}\), on a
\[
\operatorname{Re}(z)\leq\operatorname{Re}(z')
\quad\text{et}\quad
\operatorname{Re}(z')\leq\operatorname{Re}(z).
\]
Donc
\[
\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(z').
\]
Puisque \(z\mathcal{R}z'\) et \(z'\mathcal{R}z\), on en déduit que
\[
\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z')
\quad\text{et}\quad
\operatorname{Im}(z')\leq\operatorname{Im}(z).
\]
Ainsi,
\[
\operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}(z').
\]
Par conséquent, \(z=z'\).
Donc \(\mathcal{R}\) est antisymétrique.
Transitivité :
Soient \(z,z',z''\in\mathbb{C}\) tels que \(z\mathcal{R}z'\) et \(z'\mathcal{R}z''\).
On a alors
\[
\operatorname{Re}(z)\leq\operatorname{Re}(z')
\leq\operatorname{Re}(z'').
\]
On distingue deux cas :
Premier cas : \(\operatorname{Re}(z)<\operatorname{Re}(z'')\).
Alors, par définition de \(\mathcal{R}\), on a \(z\mathcal{R}z''\).
Deuxième cas : \(\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(z'')\).
Les inégalités précédentes entraînent
\[
\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(z')=\operatorname{Re}(z'').
\]
Puisque \(z\mathcal{R}z'\) et \(z'\mathcal{R}z''\), on obtient
\[
\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z')
\leq\operatorname{Im}(z'').
\]
Donc \(\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z'')\), d'où \(z\mathcal{R}z''\).
Dans tous les cas, \(z\mathcal{R}z''\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est transitive.
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{C}\).
2) Cet ordre est-il total ou partiel ?
Soient \(z,z'\in\mathbb{C}\).
Puisque l'ordre usuel sur \(\mathbb{R}\) est total, on distingue trois cas :
- Si \(\operatorname{Re}(z)<\operatorname{Re}(z')\), alors \(z\mathcal{R}z'\).
- Si \(\operatorname{Re}(z)>\operatorname{Re}(z')\), alors \(z'\mathcal{R}z\).
- Si \(\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(z')\), alors, puisque l'ordre usuel sur \(\mathbb{R}\) est total, on a
\[
\operatorname{Im}(z)\leq\operatorname{Im}(z')
\quad\text{ou}\quad
\operatorname{Im}(z')\leq\operatorname{Im}(z).
\]
Donc \(z\mathcal{R}z'\) ou \(z'\mathcal{R}z\).
Dans tous les cas, \(z\) et \(z'\) sont comparables pour la relation \(\mathcal{R}\).
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre total sur \(\mathbb{C}\). Cet ordre est appelé ordre lexicographique.