Exercice :
On pose \( E = \left\{ (I,f) \mid I \text{ est un intervalle de } \mathbb{R} \text{ et } f \in \mathcal{F}(I,\mathbb{R} )\right\} \)
On définit sur E la relation binaire \( \leq \) par : \( \forall (I,f), \ (J,g) \in E, \ (I,f) \leq (J,g) \Leftrightarrow I \subset J \text{ et } g_{|I} =f \)
1) Montrer que \( \leq \) est une relation d'ordre sur E.
2) Cet ordre est-il total ?
Corrigé :
1) Montrons que \(\leq\) est une relation d'ordre sur \(E\).
Réflexivité :
Soit \((I,f)\in E\).
On a \(I\subset I\) et \(f_{|I}=f\).
Donc \((I,f)\leq(I,f)\).
Ainsi, la relation \(\leq\) est réflexive.
Antisymétrie :
Soient \((I,f),(J,g)\in E\) tels que
\[
(I,f)\leq(J,g)\quad\text{et}\quad(J,g)\leq(I,f).
\]
Par définition de la relation \(\leq\), on a
\[
I\subset J,\quad g_{|I}=f
\]
et
\[
J\subset I,\quad f_{|J}=g.
\]
Puisque \(I\subset J\) et \(J\subset I\), on obtient \(I=J\).
Ainsi, \(g_{|I}=f\) entraîne \(g=f\).
Par conséquent,
\[
(I,f)=(J,g).
\]
Donc la relation \(\leq\) est antisymétrique.
Transitivité :
Soient \((I,f),(J,g),(K,h)\in E\) tels que
\[
(I,f)\leq(J,g)\quad\text{et}\quad(J,g)\leq(K,h).
\]
On a alors
\[
I\subset J,\quad g_{|I}=f
\]
et
\[
J\subset K,\quad h_{|J}=g.
\]
Par transitivité de l'inclusion, on obtient \(I\subset K\).
De plus,
\[
h_{|I}=(h_{|J})_{|I}=g_{|I}=f.
\]
Donc \((I,f)\leq(K,h)\).
Ainsi, la relation \(\leq\) est transitive.
Conclusion :
La relation \(\leq\) est une relation d'ordre sur \(E\).
2) Cet ordre est-il total ?
La réponse est non.
Considérons les deux éléments \((I,f)\) et \((J,g)\) de \(E\) définis par
\[
I=[0,1],\quad J=[2,3]
\]
et
\[
\forall x\in I,\quad f(x)=0,\qquad
\forall x\in J,\quad g(x)=0.
\]
On a \(I\not\subset J\) et \(J\not\subset I\).
Donc \((I,f)\) et \((J,g)\) ne sont pas comparables pour la relation \(\leq\).
Conclusion :
La relation \(\leq\) est une relation d'ordre partiel, mais non total, sur \(E\).