Exercice :
On définit sur \( \mathbb{R}_{+}^{*} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, y=x^{n} \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'ordre sur \( \mathbb{R}_{+}^{*}\)
2) Cet ordre est-il total ?
Corrigé :
1) Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
Réflexivité :
Soit \(x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\).
On a \(x=x^1\) et \(1\in\mathbb{N}\).
Donc \(x\mathcal{R}x\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est réflexive.
Antisymétrie :
Soient \(x,y\in\mathbb{R}_{+}^{*}\) tels que \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}x\).
Il existe alors \(n,p\in\mathbb{N}\) tels que
\[
x=y^n\quad\text{et}\quad y=x^p.
\]
On en déduit que
\[
x=(x^p)^n=x^{np}.
\]
En appliquant la fonction logarithme népérien, on obtient
\[
\ln(x)=np\ln(x).
\]
Ainsi,
\[
(np-1)\ln(x)=0.
\]
On distingue alors deux cas :
- Si \(np=1\), alors \(n=p=1\), d'où \(x=y\).
- Si \(\ln(x)=0\), alors \(x=1\), et par conséquent \(y=x^p=1\). Donc \(x=y\).
Dans tous les cas, \(x=y\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est antisymétrique.
Transitivité :
Soient \(x,y,z\in\mathbb{R}_{+}^{*}\) tels que \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}z\).
Il existe alors \(n,m\in\mathbb{N}\) tels que
\[
y=x^n\quad\text{et}\quad z=y^m.
\]
Par conséquent,
\[
z=(x^n)^m=x^{nm}.
\]
Or \(nm\in\mathbb{N}\), donc \(x\mathcal{R}z\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est transitive.
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
2) Cet ordre est-il total ?
La réponse est non.
Considérons \(x=2\) et \(y=3\).
On a
\[
\forall n\in\mathbb{N},\quad 2^n\neq 3.
\]
Donc \(2\) n'est pas en relation avec \(3\).
De même,
\[
\forall p\in\mathbb{N},\quad 3^p\neq 2.
\]
Donc \(3\) n'est pas en relation avec \(2\).
Ainsi, \(2\) et \(3\) ne sont pas comparables pour la relation \(\mathcal{R}\).
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre partiel, mais non total, sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).