Exercice :
On définit sur \( \mathbb{R} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x^{3}-y^{3}=3(x-y) \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence sur \( \mathbb{R} \)
2) Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), déterminer le cardinal de \( cl(x) \), la classe d'équivalence de \( x \)
Corrigé :
1) Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{R}\).
Réflexivité :
Soit \(x\in\mathbb{R}\).
On a \(x^3-x^3=3(x-x)=0\).
Donc \(x\mathcal{R}x\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est réflexive.
Symétrie :
Soient \(x,y\in\mathbb{R}\) tels que \(x\mathcal{R}y\).
On a alors \(x^3-y^3=3(x-y)\).
En multipliant les deux membres par \(-1\), on obtient\[y^3-x^3=3(y-x).\]
Donc \(y\mathcal{R}x\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est symétrique.
Transitivité :
Soient \(x,y,z\in\mathbb{R}\) tels que \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}z\).
On a alors\[x^3-y^3=3(x-y)\]et\[y^3-z^3=3(y-z).\]
En additionnant ces deux égalités, on obtient\[x^3-z^3=3(x-z).\]
Donc \(x\mathcal{R}z\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est transitive.
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{R}\).
2) Déterminons le cardinal de \(cl(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par\[\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=x^3-3x.\]
Pour tous \(x,y\in\mathbb{R}\), on a\[\begin{aligned}x\mathcal{R}y&\Leftrightarrow x^3-y^3=3(x-y)\\&\Leftrightarrow x^3-3x=y^3-3y\\&\Leftrightarrow f(x)=f(y).\end{aligned}\]
Ainsi, pour tout \(x\in\mathbb{R}\),\[cl(x)=\{y\in\mathbb{R}\mid f(y)=f(x)\}.\]
Le cardinal de \(cl(x)\) est donc égal au nombre d'antécédents de \(f(x)\) par la fonction \(f\).
Étudions les variations de \(f\).
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et\[\forall x\in\mathbb{R},\quad f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).\]
On en déduit que \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,-1]\), strictement décroissante sur \([-1,1]\) et strictement croissante sur \([1,+\infty[\).
De plus,\[f(-1)=2,\quad f(1)=-2,\]et\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\]
Déterminons le nombre d'antécédents de \(f(x)\).
D'après les variations de \(f\), on distingue trois cas.
Premier cas : \(f(x)\in]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[\).
La droite horizontale d'équation \(y=f(x)\) coupe la courbe représentative de \(f\) en un seul point.
Donc\[\operatorname{card}(cl(x))=1.\]
Deuxième cas : \(f(x)\in\{-2,2\}\).
La droite horizontale d'équation \(y=f(x)\) coupe la courbe représentative de \(f\) en deux points distincts.
Donc\[\operatorname{card}(cl(x))=2.\]
Troisième cas : \(f(x)\in]-2,2[\).
La droite horizontale d'équation \(y=f(x)\) coupe la courbe représentative de \(f\) en trois points distincts.
Donc\[\operatorname{card}(cl(x))=3.\]
On voit que \[f(x)\in]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[\Leftrightarrow |x|>2,\]\[f(x)\in\{-2,2\}\Leftrightarrow x\in\{-2,-1,1,2\},\]et\[f(x)\in]-2,2[\Leftrightarrow x\in]-2,2[\setminus\{-1,1\}.\]
Conclusion :
\[\boxed{\operatorname{card}(cl(x))=\begin{cases}1 & \text{si } |x|>2,\\2 & \text{si } x\in\{-2,-1,1,2\},\\3 & \text{si } x\in]-2,2[\setminus\{-1,1\}.\end{cases}}\]