Le théorème de Bolzano-Weierstrass est un résultat fondamental de l'analyse mathématique, particulièrement important dans l'étude des suites numériques. Il affirme que de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.Dans cet article, nous présenterons l'énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass et sa démonstration dans (\mathbb{R}) en utilisant le principe de dichotomie et les suites adjacentes. Nous étendrons ensuite ce résultat aux suites complexes, avant de proposer des exercices corrigés permettant de mieux comprendre le théorème et ses applications.
Énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass
Théorème :
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Autrement dit, pour toute suite réelle bornée \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), il existe une application strictement croissante \(\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) et un réel \(\ell\) tels que\[\lim_{n\to+\infty}u_{\varphi(n)}=\ell.\]
L'application \(\varphi\) est appelée application extractrice, et la suite \((u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}}\) est appelée suite extraite ou sous-suite de \((u_n)\).
Démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass dans \(\mathbb{R}\)
Démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass par dichotomie :
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite réelle bornée.
Il existe donc deux réels \(a\) et \(b\) tels que\[\forall n\in\mathbb{N},\quad a\leq u_n\leq b.\]
On pose \(a_0=a\), \(b_0=b\) et \(\varphi(0)=0\).
Nous allons construire par récurrence deux suites réelles \((a_n)\) et \((b_n)\), ainsi qu'une application strictement croissante \(\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), telles que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
1) L'ensemble \(\{k\in\mathbb{N}\mid a_n\leq u_k\leq b_n\}\) est infini.
2) \(a_n\leq u_{\varphi(n)}\leq b_n\).
3) \(b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\).
Initialisation de la construction :
On pose\[c_0=\frac{a_0+b_0}{2}.\]
On considère les deux ensembles\[I_0=\{k\in\mathbb{N}\mid a_0\leq u_k\leq c_0\}\]et\[J_0=\{k\in\mathbb{N}\mid c_0\leq u_k\leq b_0\}.\]
Puisque tous les termes de la suite appartiennent à \([a_0,b_0]\), on a\[I_0\cup J_0=\mathbb{N}.\]
Par conséquent, au moins l'un des deux ensembles \(I_0\) et \(J_0\) est infini.
Premier cas : Si \(I_0\) est infini, on pose\[a_1=a_0,\quad b_1=c_0.\]
On choisit \(\varphi(1)\in I_0\) tel que \(\varphi(1)>\varphi(0)\).
Deuxième cas : Si \(I_0\) est fini, alors \(J_0\) est infini.
On pose\[a_1=c_0,\quad b_1=b_0.\]
On choisit \(\varphi(1)\in J_0\) tel que \(\varphi(1)>\varphi(0)\).
Dans les deux cas, l'intervalle \([a_1,b_1]\) contient une infinité de termes de la suite et\[b_1-a_1=\frac{b_0-a_0}{2}.\]
De plus,\[a_1\leq u_{\varphi(1)}\leq b_1.\]
Construction par récurrence :
Supposons qu'à un certain rang \(n\in\mathbb{N}\), on ait construit les réels \(a_n\), \(b_n\) et les entiers\[\varphi(0)<\varphi(1)<\cdots<\varphi(n),\]de sorte que l'ensemble\[\{k\in\mathbb{N}\mid a_n\leq u_k\leq b_n\}\] soit infini et que\[a_n\leq u_{\varphi(n)}\leq b_n.\]
On pose\[c_n=\frac{a_n+b_n}{2}.\]
On considère les deux ensembles\[I_n=\{k\in\mathbb{N}\mid a_n\leq u_k\leq c_n\}\] et \[J_n=\{k\in\mathbb{N}\mid c_n\leq u_k\leq b_n\}.\]
Puisque l'ensemble des indices des termes appartenant à \([a_n,b_n]\) est infini, au moins l'un des deux ensembles \(I_n\) et \(J_n\) est infini.
Premier cas : Si \(I_n\) est infini, on pose\[a_{n+1}=a_n,\quad b_{n+1}=c_n.\]
On choisit \(\varphi(n+1)\in I_n\) tel que \(\varphi(n+1)>\varphi(n)\).
Deuxième cas :
Si \(I_n\) est fini, alors \(J_n\) est infini.
On pose\[a_{n+1}=c_n,\quad b_{n+1}=b_n.\]
On choisit \(\varphi(n+1)\in J_n\) tel que \(\varphi(n+1)>\varphi(n)\).
Dans les deux cas, on obtient\[a_{n+1}\leq u_{\varphi(n+1)}\leq b_{n+1}\]et\[b_{n+1}-a_{n+1}=\frac12(b_n-a_n).\]
De proche en proche, on construit ainsi deux suites réelles \((a_n)\) et \((b_n)\) et une application strictement croissante \(\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\).
Convergence des suites adjacentes
D'après la construction, on a, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),\[a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n.\]
Par conséquent, la suite \((a_n)\) est croissante et la suite \((b_n)\) est décroissante.
De plus,\[\forall n\in\mathbb{N},\quad b_{n+1}-a_{n+1}=\frac12(b_n-a_n).\]
La suite \((b_n-a_n)\) est donc géométrique de raison \(\frac12\).
Ainsi,\[\forall n\in\mathbb{N},\quad b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}.\]
Puisque\[\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{2^n}=0,\]on obtient\[\lim_{n\to+\infty}(b_n-a_n)=0.\]
Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont donc adjacentes.
D'après le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite réelle, notée \(\ell\).
Ainsi,\[\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}b_n=\ell.\]
Convergence de la suite extraite
Par construction, on a\[\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\leq u_{\varphi(n)}\leq b_n.\]
Or\[\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}b_n=\ell.\]
D'après le théorème des gendarmes,\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_{\varphi(n)}=\ell}.\]
Puisque \(\varphi\) est strictement croissante, la suite \((u_{\varphi(n)})\) est une sous-suite de \((u_n)\).
On vient donc de construire une sous-suite convergente de la suite réelle bornée \((u_n)\).
Le théorème de Bolzano-Weierstrass est ainsi démontré.
Théorème de Bolzano-Weierstrass dans \(\mathbb{C}\)
Le théorème de Bolzano-Weierstrass s'étend également aux suites à valeurs complexes. Sa démonstration repose sur le théorème de Bolzano-Weierstrass dans \(\mathbb{R}\).
Théorème :
De toute suite complexe bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Démonstration :
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite complexe bornée.
La suite \((\operatorname{Re}(u_n))_{n\in\mathbb{N}}\) est une suite réelle bornée, car\[\forall n\in\mathbb{N},\quad |\operatorname{Re}(u_n)|\leq |u_n|.\]
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass dans \(\mathbb{R}\), on peut en extraire une sous-suite convergente.
Il existe donc une application strictement croissante \(\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) et un réel \(a\) tels que\[\lim_{n\to+\infty}\operatorname{Re}(u_{\varphi(n)})=a.\]
Considérons maintenant la suite \((\operatorname{Im}(u_{\varphi(n)}))_{n\in\mathbb{N}}\).
Cette suite est réelle et bornée, puisque\[\forall n\in\mathbb{N},\quad |\operatorname{Im}(u_{\varphi(n)})|\leq |u_{\varphi(n)}|.\]
En appliquant une deuxième fois le théorème de Bolzano-Weierstrass dans \(\mathbb{R}\), on peut extraire de cette suite une sous-suite convergente.
Il existe donc une application strictement croissante \(\psi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) et un réel \(b\) tels que\[\lim_{n\to+\infty}\operatorname{Im}(u_{\varphi(\psi(n))})=b.\]
D'autre part, la suite \((\operatorname{Re}(u_{\varphi(\psi(n))}))_{n\in\mathbb{N}}\) est une sous-suite de la suite convergente \((\operatorname{Re}(u_{\varphi(n)}))_{n\in\mathbb{N}}\).
Par conséquent,\[\lim_{n\to+\infty}\operatorname{Re}(u_{\varphi(\psi(n))})=a.\]
Or, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),\[u_{\varphi(\psi(n))}=\operatorname{Re}(u_{\varphi(\psi(n))})+i\operatorname{Im}(u_{\varphi(\psi(n))}).\]
On en déduit que\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_{\varphi(\psi(n))}=a+ib}.\]
Enfin, puisque \(\varphi\) et \(\psi\) sont strictement croissantes, leur composée \(\varphi\circ\psi\) est également strictement croissante.
Ainsi, \((u_{\varphi(\psi(n))})_{n\in\mathbb{N}}\) est une sous-suite convergente de \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Le théorème de Bolzano-Weierstrass dans \(\mathbb{C}\) est ainsi démontré.