Exercice :
Soient A et B deux parties d'un ensemble E.
Résoudre l'équation d'inconnue \( X \in \mathcal{P}(E) \) suivante :\( X \cap A=B \)
Corrigé :
On va utiliser un raisonnement par analyse-synthèse.
Analyse :
On suppose qu'il existe \(X \in \mathcal{P}(E)\) tel que \(X \cap A=B\).
On a \(X \cap A \subset A\), donc \(B \subset A\).
De plus :
\(\begin{aligned}X &= X \cap E\\&= X \cap (A \cup \bar{A})\\&= (X \cap A) \cup (X \cap \bar{A})\\&= B \cup Y \quad (\text{avec } Y \in \mathcal{P}(\bar{A})).\end{aligned}\)
Synthèse :
On suppose que \(B \subset A\).
Soit \(Y \in \mathcal{P}(\bar{A})\).
On pose \(X=B \cup Y\).
On a :
\(\begin{aligned}X \cap A &= (B \cup Y) \cap A\\&= (B \cap A) \cup (Y \cap A)\\&= B \cup \varnothing\\&= B.\end{aligned}\)
Conclusion :
On note \(S\) l'ensemble des solutions de cette équation.\(S=\begin{cases}\varnothing & \text{si } B \not\subset A,\\\{B \cup Y \mid Y \in \mathcal{P}(\bar{A})\} & \text{si } B \subset A.\end{cases}\)