Exercice :
Soit \( \mathcal{R} \) une relation binaire définie sur \( \mathbb{Z} \) par : \( \forall(n, m) \in \mathbb{Z}^{2}, \ n \mathcal{R} m \Leftrightarrow n+m \text{ est un entier pair } \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence sur \( \mathbb{Z}. \)
2) Déterminer les classes d'équivalence de cette relation.
Corrigé
1. Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{Z}\).
Réflexivité :
Soit \(n\in\mathbb{Z}\).
Puisque \(n+n=2n\) est pair, on a \(n\mathcal{R}n\).
Symétrie :
Soient \(n,m\in\mathbb{Z}\) tels que \(n\mathcal{R}m\).
Alors \(n+m\) est pair.
Comme \(m+n=n+m\), on en déduit que \(m\mathcal{R}n\).
Transitivité :
Soient \(n,m,p\in\mathbb{Z}\) tels que \(n\mathcal{R}m\) et \(m\mathcal{R}p\).
Alors \(n+m\) et \(m+p\) sont pairs.
Or\[n+p=(n+m)+(m+p)-2m.\]
Ainsi, \(n+p\) est pair, donc \(n\mathcal{R}p\).
Par conséquent, \(\boxed{\mathcal{R}\text{ est une relation d'équivalence sur }\mathbb{Z}.}\)
2. Déterminons les classes d'équivalence de \(\mathcal{R}\).
Soit \(n\in\mathbb{Z}\).
On a\[\overline{n}=\{m\in\mathbb{Z}\mid n+m\text{ est pair}\}.\]
Distinguons deux cas :
Si \(n\) est pair, alors \(n+m\) est pair si et seulement si \(m\) est pair.
Ainsi,\[\overline{n}=\{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}.\]
Si \(n\) est impair, alors \(n+m\) est pair si et seulement si \(m\) est impair.
Ainsi,\[\overline{n}=\{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\}.\]
Par conséquent, \(\mathcal{R}\) possède exactement deux classes d'équivalence distinctes :\[\boxed{\overline{0}=\{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}\quad\text{et}\quad\overline{1}=\{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\}.}\]