Exercice :
1) Montrer que : \( \forall z \in \mathbb{C}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}(|Re(z)|+|Im(z)|) \leq|z| \leq|Re(z)|+|Im(z)| \)
2) Étudier le cas d'égalité.
Corrigé :
Soit \(z \in \mathbb{C}\). On pose \(\operatorname{Re}(z)=x\) et \(\operatorname{Im}(z)=y\), de sorte que \(z=x+iy\).
1)
\[\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|\right)\leq |z|\leq |\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|\\&\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}(|x|+|y|)\leq \sqrt{x^2+y^2}\leq |x|+|y|\\&\Leftrightarrow\frac{1}{2}(x^2+2|xy|+y^2)\leq x^2+y^2\leq x^2+2|xy|+y^2\\&\Leftrightarrow x^2+2|xy|+y^2\leq 2(x^2+y^2)\leq 2(x^2+y^2)+4|xy|\\&\Leftrightarrow0\leq x^2-2|xy|+y^2\leq x^2+y^2+2|xy|\\&\Leftrightarrow0\leq (|x|-|y|)^2\leq (|x|+|y|)^2.\end{aligned}\]
La dernière proposition est vraie.Donc, par le principe des équivalences successives :\[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|\right)\leq |z|\leq |\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)| \]
2) Étudions maintenant le cas d'égalité :\[\begin{aligned}& \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|\right)=|z|=|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|\\&\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|x|+|y|)=\sqrt{x^2+y^2}=|x|+|y|\\&\Leftrightarrow 0=(|x|-|y|)^2=(|x|+|y|)^2\\&\Leftrightarrow | x|+|y|=|x|-|y|=0\\&\Leftrightarrow|x|=|y|=0\\&\Leftrightarrow x=y=0\\&\Leftrightarrow z=0.\end{aligned}\]