En mathématiques, le théorème de Rolle est fondamental en analyse et en théorie de la dérivation. Il sert, par exemple, à établir le théorème des accroissements finis.
Dans cet article, nous commencerons par énoncer le théorème de Rolle, puis nous proposerons une démonstration complète, suivie d’une interprétation géométrique. Enfin, nous présenterons des exercices corrigés pour faciliter la compréhension et l’application de ce théorème.
Énoncé du théorème de Rolle
Théorème de Rolle :
Soient \(a, b\) avec \(a < b\) et \(f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) continue sur \([a, b]\), dérivable sur \(]a, b[\) avec \(f(a) = f(b)\).
Alors il existe \(c \in ]a, b[\) tel que \(f'(c) = 0\).
Démonstration :
La fonction \(f\) est continue sur \([a, b]\).
Donc, d’après le théorème des bornes atteintes, il existe \(\alpha, \beta \in [a, b]\) tels que :
\(
f(\alpha) = \min_{x \in [a, b]} f(x) \quad \text{et} \quad f(\beta) = \max_{x \in [a, b]} f(x)
\).
Cas 1 : \(\alpha, \beta \in ]a, b[\).
Alors par la condition nécessaire d’extrémum, \(f'(\alpha) = 0\) et \(f'(\beta) = 0\).
Cas 2 : Si \(\alpha \in \{a, b\}\) et \(\beta \in \{a, b\}\),
comme \(f(a) = f(b)\), on a \(f(\alpha) = f(\beta)\).
Alors \(\forall x \in [a, b], \quad f(x) = \text{cte}\).
Donc \(\forall c \in ]a, b[, \quad f'(c) = 0\).
Dans les deux cas, on a : \(\exists c \in ]a, b[, \quad f'(c) = 0\).
Interprétation géométrique du théorème de Rolle
Si \(f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) est continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\) avec \(f(a) = f(b)\), alors la courbe de \(f\) admet au moins une tangente horizontale en un point \((c, f(c))\) avec \(c \in ]a, b[\).
Exercices corrigés sur le théorème de Rolle
Exercice 1
Soit \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dérivable et telle que \(f’\) ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(f\) n’est pas périodique.
Corrigé
Supposons par l’absurde que la fonction soit périodique avec période \(T > 0\).
On a \(f\) est continue sur \([0,T]\), dérivable sur \(]0,T[\) et \(f(0)=f(T)\).
Alors par le thérème de Rolle \(\exists c \in [0,T]\) tel que \(f'(c) = 0\), ce qui est impossible.
Donc \(f\) ne peut pas être périodique.
Exercice 2
Soit \(f : [0, 2] \rightarrow \mathbb{R}\) deux fois dérivable sur \([0, 2]\) et telle que \(f(0) = f(1) = f(2)\).
Montrer qu’il existe \(c \in ]0, 2[\) tel que \(f^{\prime\prime}(c) = 0\).
Corrigé
On applique le théorème de Rolle sur \([0, 1]\) :
\(\exists \alpha \in ]0, 1[, \quad f'(\alpha) = 0\).
Puis sur \([1, 2]\) :
\(\exists \beta \in ]1, 2[, \quad f'(\beta) = 0\).
Comme \(f’\) est continue sur \([\alpha, \beta]\), dérivable sur \(]\alpha, \beta[\) et \( f'(\alpha)=f'(\beta) \), on applique à nouveau le théorème de Rolle ( sur \(f’\) ) pour obtenir :
\(\exists c \in ]\alpha, \beta[, \quad f^{\prime\prime}(c) = 0\).
Ainsi, \(\exists c \in ]0, 2[, \quad f^{\prime\prime}(c) = 0\).