Dans ce cours, nous introduisons les notions de borne supérieure (sup) et de borne inférieure (inf) d’une partie de \( \mathbb{R} \). Nous proposons ensuite plusieurs exemples pour en faciliter la compréhension, puis nous présentons les principales propriétés du sup et de l’inf, accompagnées d’exercices corrigés.
1) Définition et propriétés de la borne supérieure (sup) et de la borne inférieure (inf).
Définition (sup et inf) :
Soit \( A \) une partie de \( \mathbb{R} \).
i) Si l’ensemble des majorants de \( A \) admet un plus petit élément, on l’appelle la borne supérieure de \( A \) et on la note \( \sup(A) \).
ii) Si l’ensemble des minorants de \( A \) admet un plus grand élément, on l’appelle la borne inférieure de \( A \) et on la note \( \inf(A) \).
Remarque 1 :
Sous réserve d’existence, on a :
- \( \sup(A) = \min(\text{ensemble des majorants de } A) \)
- \( \inf(A)= \max(\text{ensemble des minorants de } A).
\)
Remarque 2 :
L’unicité de la borne supérieure découle de l’unicité du plus petit élément.
De même, l’unicité de la borne inférieure découle de l’unicité du plus grand élément.
Remarque 3 :
- Si une partie \( A \subset \mathbb{R} \) admet un plus grand élément, alors \( A \) admet une borne supérieure et \( \sup(A) = \max(A) \).
- Si une partie \( A \subset \mathbb{R} \) admet un plus petit élément, alors \( A \) admet une borne inférieure et \( \inf(A) = \min(A) \).
Exemples :
i) Justifions que \( \sup(]0,1[) = 1 \) :
On a \( \sup(]0,1[) = \min(\text{ensemble des majorants de } ]0,1[) \).
L’ensemble des majorants de \( ]0,1[ \) est \( [1,+\infty[ \), et \( \min([1,+\infty[) = 1 \).
Donc \( \sup(]0,1[) = 1 \).
ii) Justifions que \( \inf(]0,1[) = 0 \) :
On a \( \inf(]0,1[) = \max(\text{ensemble des minorants de } ]0,1[) \).
L’ensemble des minorants de \( ]0,1[ \) est \( ]-\infty,0] \), et \( \max(]-\infty,0]) = 0 \).
Donc \( \inf(]0,1[) = 0 \).
Remarque 4 :
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels tels que \( a < b \). On a :
- \( \sup([a,b]) = b = \sup(]a,b]) = \sup([a,b[) = \sup(]a,b[) = \sup(]-\infty,b]) \)
- \( \inf([a,b]) = a = \inf(]a,b]) = \inf([a,b[) = \inf(]a,b[) = \inf([a,+\infty[). \)
- Les intervalles \( [a,+\infty[ \), \( ]a,+\infty[ \), \( \mathbb{R} \) et \( \emptyset \) n’ont pas de borne supérieure.
- De même, les intervalles \( ]-\infty,b] \), \( ]-\infty,b[ \), \( \mathbb{R} \) et \( \emptyset \) n’ont pas de borne inférieure.
Axiome de la borne supérieure :
Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\) possède une borne supérieure.
Axiome de la borne inférieure :
Toute partie non vide et minorée de \(\mathbb{R}\) possède une borne inférieure.
Remarque 5 :
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) et \(m, M \in \mathbb{R}\).
i) Passage à la borne supérieure :
\( (\forall a \in A, \ a \leq M) \Rightarrow \sup(A) \leq M\).
Autrement dit, si \(M\) est un majorant de \(A\), alors \(A\) admet une borne supérieure et \(\sup(A) \leq M\).
ii) Passage à la borne inférieure :
\( (\forall a \in A, \ m \leq a) \Rightarrow m \leq \inf(A)\).
Autrement dit, si \(m\) est un minorant de \(A\), alors \(A\) admet une borne inférieure et \(m \leq \inf(A)\).
Exercice 1 :
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de \(\mathbb{R}\) telles que \(\forall (a,b) \in A \times B, \ a \leq b\).
Montrer que \(A\) admet une borne supérieure, \(B\) admet une borne inférieure et que \(\sup(A) \leq \inf(B)\).
Corrigé :
On a \(\forall b \in B, (\forall a \in A, a \leq b)\).
Donc \(A\) admet une borne supérieure (car c’est une partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\)) et \(\forall b \in B, \sup(A) \leq b\).
Ainsi, \(B\) est minorée par \(\sup(A)\), donc \(B\) admet une borne inférieure et \(\sup(A) \leq \inf(B)\).
Exercice 2 :
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\).
On note \(-A = \{-a \mid a \in A\}\).
1) Montrer que si \(A\) est majorée, alors \(-A\) admet une borne inférieure et \(\inf(-A) = -\sup(A)\).
2) Montrer que si \(A\) est minorée, alors \(-A\) admet une borne supérieure et \(\sup(-A) = -\inf(A)\).
Corrigé :
1) Supposons que \(A\) soit majorée.
Puisque \(A\) est non vide, d’après l’axiome de la borne supérieure, \(A\) admet une borne supérieure.
Ainsi, \(\forall a \in A, \ a \leq \sup(A)\).
Donc \(\forall a \in A, -a \geq -\sup(A)\), et par conséquent \(\forall x \in -A, \ x \geq -\sup(A)\).
Ainsi, \(-A\) est minorée par \(-\sup(A)\), donc \(-A\) admet une borne inférieure et on a :
\[
\inf(-A) \geq -\sup(A) \quad (*)
\]
D’autre part, \(\forall x \in -A, \ x \geq \inf(-A)\), donc \(\forall a \in A, \ a \leq -\inf(-A)\).
Ainsi, \(\sup(A) \leq -\inf(-A)\), ce qui donne :
\[
\inf(-A) \leq -\sup(A) \quad (**)
\]
Des inégalités \((*)\) et \((**)\), on déduit que :
\[
\inf(-A) = -\sup(A)
\]
2) Supposons maintenant que \(A\) soit minorée.
Puisque \(A\) est non vide, d’après l’axiome de la borne inférieure, \(A\) admet une borne inférieure.
Ainsi, \(\forall a \in A, \ \inf(A) \leq a\), donc \(\forall a \in A, -a \leq -\inf(A)\).
Par conséquent, \(\forall x \in -A, \ x \leq -\inf(A)\).
Donc \(-A\) est majorée par \(-\inf(A)\), et comme \(-A \neq \emptyset\), \(-A\) admet une borne supérieure telle que :
\[
\sup(-A) \leq -\inf(A) \quad (*)
\]
De plus, \(\forall x \in -A, \ x \leq \sup(-A)\) implique \(\forall a \in A, \ a \geq -\sup(-A)\), donc :
\[
\inf(A) \geq -\sup(-A) \quad (**)
\]
Des inégalités \((*)\) et \((**)\), on déduit que :
\[
\sup(-A) = -\inf(A)
\]
Exercice 3 :
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de \(\mathbb{R}\).
On note \(A+B = \{a+b \mid (a,b) \in A \times B\}\).
1) On suppose que \(A\) et \(B\) sont majorées.
Montrer que \(A+B\) admet une borne supérieure et que :
\[
\sup(A+B) = \sup(A) + \sup(B)
\]
2) On suppose que \(A\) et \(B\) sont minorées.
Montrer que \(A+B\) admet une borne inférieure et que :
\[
\inf(A+B) = \inf(A) + \inf(B)
\]
Corrigé :
1) Puisque \(A\) et \(B\) sont non vides et majorées, elles admettent chacune une borne supérieure.
Donc \(\forall a \in A, \ a \leq \sup(A)\) et \(\forall b \in B, \ b \leq \sup(B)\).
Ainsi, \(\forall (a,b) \in A \times B, \ a+b \leq \sup(A) + \sup(B)\).
Par conséquent, \(A+B\) est majorée par \(\sup(A) + \sup(B)\), et comme \(A+B\) est non vide, elle admet une borne supérieure telle que :
\[
\sup(A+B) \leq \sup(A) + \sup(B) \quad (*)
\]
D’autre part, \(\forall a \in A, \forall b \in B, \ a+b \leq \sup(A+B)\).
Donc \(\forall a \in A, \forall b \in B, \ b \leq \sup(A+B) – a\).
Ainsi, \(\forall a \in A, \ \sup(B) \leq \sup(A+B) – a\), d’où \(\forall a \in A, \ a \leq \sup(A+B) – \sup(B)\).
Donc \(\sup(A) \leq \sup(A+B) – \sup(B)\), ce qui donne :
\[
\sup(A) + \sup(B) \leq \sup(A+B) \quad (**)
\]
Des inégalités \((*)\) et \((**)\), on déduit :
\[
\sup(A+B) = \sup(A) + \sup(B)
\]
2) Puisque \(A\) et \(B\) sont non vides et minorées, elles admettent chacune une borne inférieure.
Donc \(\forall a \in A, \ \inf(A) \leq a\) et \(\forall b \in B, \ \inf(B) \leq b\).
Ainsi, \(\forall (a,b) \in A \times B, \ \inf(A) + \inf(B) \leq a + b\).
Donc \(A+B\) est minorée par \(\inf(A) + \inf(B)\), et comme \(A+B\) est non vide, elle admet une borne inférieure telle que :
\[
\inf(A) + \inf(B) \leq \inf(A+B) \quad (*)
\]
Par ailleurs, \(\forall a \in A, \forall b \in B, \ \inf(A+B) \leq a+b\).
Donc \(\forall a \in A, \forall b \in B, \ \inf(A+B) – a \leq b\), ce qui entraîne \(\forall a \in A, \ \inf(A+B) – a \leq \inf(B)\).
Ainsi, \(\forall a \in A, \ \inf(A+B) – \inf(B) \leq a\), donc \(\inf(A+B) – \inf(B) \leq \inf(A)\), c’est-à-dire :
\[
\inf(A+B) \leq \inf(A) + \inf(B) \quad (**)
\]
En combinant \((*)\) et \((**)\), on obtient :
\[
\inf(A+B) = \inf(A) + \inf(B)
\]
2) Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure.
Caractérisation de la borne supérieure :
Soient \(A \subset \mathbb{R}\) et \(M \in \mathbb{R}\).
Alors :
\[
M = \sup(A) \Longleftrightarrow
\begin{cases}
M \text{ est un majorant de } A, \\
\forall \varepsilon > 0, \ \exists a \in A \text{ tel que } M – \varepsilon < a.
\end{cases}
\]
Remarque :
\(\forall \varepsilon > 0, \ \exists a \in A, \ M – \varepsilon < a\) signifie que \(\forall \varepsilon > 0\), \(M – \varepsilon\) n’est pas un majorant de \(A\).
Démonstration :
\( « \Rightarrow »\) Si \(M = \sup(A)\), alors \(M\) est un majorant de \(A\) par définition.
Soit \(\varepsilon > 0\). Comme \(M – \varepsilon < M = \sup(A)\), \(M – \varepsilon\) n’est pas un majorant de \(A\).
Donc \(\exists a \in A\) tel que \(M – \varepsilon < a\).
\(« \Leftarrow »\) Supposons que :
\[
\begin{cases}
M \text{ est un majorant de } A, \\
\forall \varepsilon > 0, \ \exists a \in A \text{ tel que } M – \varepsilon < a.
\end{cases}
\]
Montrons que \(M\) est le plus petit des majorants de \(A\).
Soit \(M’\) un majorant de \(A\). Supposons, par l’absurde, que \(M’ < M\).
Posons \(\varepsilon = M – M’ > 0\).
Alors \(\exists a \in A\) tel que \(M – \varepsilon < a\), donc \(M’ < a\), ce qui contredit le fait que \(M’\) soit un majorant de \(A\).
Ainsi, \(M’ \geq M\) pour tout majorant \(M’\) de \(A\).
Donc \(M\) est le plus petit des majorants de \(A\), c’est-à-dire \(M = \sup(A)\).
Caractérisation de la borne inférieure :
Soient \(A \subset \mathbb{R}\) et \(m \in \mathbb{R}\).
Alors :
\[
m = \inf(A) \Longleftrightarrow
\begin{cases}
m \text{ est un minorant de } A, \\
\forall \varepsilon > 0, \ \exists a \in A \text{ tel que } a < m + \varepsilon.
\end{cases}
\]
Remarque :
\(\forall \varepsilon > 0, \ \exists a \in A, \ a < m + \varepsilon\) signifie que \(\forall \varepsilon > 0\), \(m + \varepsilon\) n’est pas un minorant de \(A\).
Exercice 4 :
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\).
On note \(-A = \{-a \mid a \in A\}\).
1) Montrer que si \(A\) est majorée alors \(-A\) admet une borne inférieure et
\[
\inf(-A) = -\sup(A).
\]
2) Montrer que si \(A\) est minorée alors \(-A\) admet une borne supérieure et
\[
\sup(-A) = -\inf(A).
\]
Corrigé :
1) Supposons que \(A\) est majorée.
Alors \(A\) est non vide et admet une borne supérieure \(\sup(A)\).
Ainsi, \(\forall a \in A, \ a \leq \sup(A)\), donc \(\forall a \in A, \ -a \geq -\sup(A)\).
Par conséquent, \(-A\) est minorée par \(-\sup(A)\).
Pour montrer l’égalité, soit \(\varepsilon > 0\). Par la caractérisation de la borne supérieure, \(\exists a \in A\) tel que
\[
\sup(A) – \varepsilon < a.
\]
Alors \(-a < -\sup(A) + \varepsilon\), ce qui implique que \(-\sup(A)\) est la borne inférieure de \(-A\).
Donc
\[
\inf(-A) = -\sup(A).
\]
2) Supposons que \(A\) est minorée.
Alors \(A\) est non vide et admet une borne inférieure \(\inf(A)\).
Ainsi, \(\forall a \in A, \ \inf(A) \leq a\), donc \(\forall a \in A, \ -a \leq -\inf(A)\).
Par conséquent, \(-A\) est majorée par \(-\inf(A)\).
Pour montrer l’égalité, soit \(\varepsilon > 0\). Par la caractérisation de la borne inférieure, \(\exists a \in A\) tel que
\[
a < \inf(A) + \varepsilon.
\]
Alors \(-a > -\inf(A) – \varepsilon\), ce qui implique que \(-\inf(A)\) est la borne supérieure de \(-A\).
Donc
\[
\sup(-A) = -\inf(A).
\]
Exercice 5 :
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de \(\mathbb{R}\).
On note
\[
A+B = \{a+b \mid (a,b) \in A \times B\}.
\]
1) On suppose que \(A\) et \(B\) sont majorées. Montrer que \(A+B\) admet une borne supérieure et que
\[
\sup(A+B) = \sup(A) + \sup(B).
\]
2) On suppose que \(A\) et \(B\) sont minorées. Montrer que \(A+B\) admet une borne inférieure et que
\[
\inf(A+B) = \inf(A) + \inf(B).
\]
Corrigé :
1) Puisque \(A\) et \(B\) sont non vides et majorées, elles admettent des bornes supérieures \(\sup(A)\) et \(\sup(B)\).
Ainsi \(\forall a \in A, \ a \leq \sup(A)\) et \(\forall b \in B, \ b \leq \sup(B)\), donc \(\forall (a,b) \in A \times B, \ a+b \leq \sup(A) + \sup(B)\).
Ainsi \(A+B\) est majorée par \(\sup(A) + \sup(B)\).
Pour montrer l’égalité, soit \(\varepsilon > 0\). Par la caractérisation de la borne supérieure, il existe \(a \in A\) et \(b \in B\) tels que
\[
\sup(A) – \frac{\varepsilon}{2} < a \quad \text{et} \quad \sup(B) – \frac{\varepsilon}{2} < b.
\]
Alors
\[
\sup(A) + \sup(B) – \varepsilon < a+b \in A+B.
\]
Par conséquent, \(\sup(A+B) = \sup(A) + \sup(B)\).
2) Puisque \(A\) et \(B\) sont non vides et minorées, elles admettent des bornes inférieures \(\inf(A)\) et \(\inf(B)\).
Ainsi \(\forall a \in A, \ \inf(A) \leq a\) et \(\forall b \in B, \ \inf(B) \leq b\), donc \(\forall (a,b) \in A \times B, \ \inf(A) + \inf(B) \leq a+b\).
Ainsi \(A+B\) est minorée par \(\inf(A) + \inf(B)\).
Pour montrer l’égalité, soit \(\varepsilon > 0\). Par la caractérisation de la borne inférieure, il existe \(a \in A\) et \(b \in B\) tels que
\[
a < \inf(A) + \frac{\varepsilon}{2} \quad \text{et} \quad b < \inf(B) + \frac{\varepsilon}{2}.
\]
Alors
\[
a+b < \inf(A) + \inf(B) + \varepsilon, \quad a+b \in A+B.
\]
Par conséquent, \(\inf(A+B) = \inf(A) + \inf(B)\).
Exercice 6 :
On pose
\[
A = \left\{ (-1)^m + \frac{1}{m} \;\middle|\; m \in \mathbb{N}^{*} \right\}.
\]
1) Montrer que \(A\) admet une borne supérieure qu’on déterminera.
2-a) Montrer que \(A\) admet une borne inférieure qu’on déterminera.
2-b) \(A\) admet-elle un plus petit élément ?
Corrigé :
On a
\[
A = \left\{ 0, \frac{3}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{5}{4}, -\frac{4}{5}, \ldots \right\}.
\]
1) Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*} \setminus \{1\}\), on a \(\frac{1}{n} \leq \frac{1}{2}\) et \((-1)^n \leq 1\).
Donc
\[
(-1)^n + \frac{1}{n} \leq \frac{3}{2}.
\]
Pour \(n = 2\), on obtient
\[
(-1)^2 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
\]
Ainsi \(\frac{3}{2} \in A\) et c’est le plus grand élément.
On conclut que
\[
\max(A) = \sup(A) = \frac{3}{2}.
\]
2-a) Pour tout \(m \in \mathbb{N}^{*}\), on a \(-1 \leq (-1)^m\) et \(0 < \frac{1}{m}\).
Donc
\[
(-1)^m + \frac{1}{m} > -1.
\]
Ainsi \(-1\) est un minorant de \(A\).
Pour montrer que \(-1\) est la borne inférieure, soit \(\varepsilon > 0\).
On a
\[
\lim_{n \to +\infty} \left( (-1)^{2n+1} + \frac{1}{2n+1} \right) = \lim_{n \to +\infty} \left( -1 + \frac{1}{2n+1} \right) = -1.
\]
Donc pour \(n_0\) suffisamment grand, on a
\[
-1 < (-1)^{2n_0+1} + \frac{1}{2n_0+1} < -1 + \varepsilon.
\]
Ainsi, par la caractérisation de la borne inférieure, on obtient
\[
\inf(A) = -1.
\]
2-b) Supposons par l’absurde que \(A\) admet un plus petit élément.
Alors \(\min(A) = \inf(A) = -1\).
Mais \(-1 \notin A\) car pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \((-1)^n + \frac{1}{n} > -1\).
On obtient une contradiction.
Donc \(A\) n’admet pas de plus petit élément.