Produit cartésien de deux ensembles

Dans ce cours, nous allons introduire la notion de produit cartésien de deux ensembles et illustrer cette définition à l’aide de plusieurs exemples. Nous en proposerons ensuite une généralisation au cas d’un nombre fini d’ensembles, avant de conclure par des exercices corrigés destinés à consolider votre compréhension.

1) Produit cartésien de deux ensembles

Définition :

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles.
Le produit cartésien de \(E\) et \(F\) est l’ensemble des couples \((x, y)\) avec \(x \in E\) et \(y \in F\). On le note \(E \times F\).
Autrement dit : \(E \times F = \{(x, y)\mid x \in E \text{ et } y \in F\}\).
Dans le cas où \(E=F\), on pourra noter \(E^{2}\) au lieu de \(E \times E\).

Remarque :

Voici une formule très importante pour aborder les exercices sur le produit cartésien :
\((x, y) \in E \times F \Leftrightarrow x \in E \text{ et } y \in F\).

Exemples de produits cartésiens :

  1. \((\sqrt{2}, 1) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Q}\) car \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) et \(1 \in \mathbb{Q}\), mais aussi \((\sqrt{2}, 1) \in \mathbb{R}^{2}\).
  2.  \((i,-1) \in \mathbb{C} \times \mathbb{R}\), mais aussi \((i,-1) \in \mathbb{C}^{2}\).
  3. Si l’on pose \(E=\{0,1\}\) et \(F=\{2\}\).
    Alors \(E \times F=\{(0,2),(1,2)\}\).
    Et \(E^{2}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}\).
    Et \(F^{2}=\{(2,2)\}\).

Remarque :
L’ordre est important dans un produit cartésien : en général \(E \times F \neq F \times E\).
Voici un contre-exemple : \((1,\sqrt{2}) \in \mathbb{N} \times \mathbb{R}\) mais \((1,\sqrt{2}) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{N}\).

2) Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles

Définition :
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{n}\) des ensembles.
Le produit cartésien des ensembles \(E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{n}\) est défini par :
\(E_{1} \times E_{2} \times \cdots \times E_{n}=\{(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \mid \forall i \in \{1,\ldots,n\}, x_{i} \in E_{i}\}\).
Si \(E_{1}=E_{2}=\cdots=E_{n}=E\), on note \(E^{n}\) au lieu de \(E_{1} \times E_{2} \times \cdots \times E_{n}\).

Exemples :

  1. \(  (1,-1,\frac{1}{2} ,\sqrt{2}) \in \mathbb{N} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \quad \text{mais aussi} \quad (1,-1,\frac{1}{2},\sqrt{2}) \in \mathbb{R}^{4} \)
  2. \( (1,-2,10) \in [0,1] \times [-3,-1] \times [9,11].\)

3) Exercices corrigés sur les produits cartésiens

Exercice 1 ⭐️

On pose \(E=\{a,b\}, F=\{c,d\}\) et \(G=\{e,f\}\).
Déterminer \(E \times F \times G\).

\[
E \times F \times G=\{(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f)\}.
\]

Exercice 2 ⭐️⭐️ :

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(A_{1}, A_{2}\) deux parties de \(E\) et \(B_{1}, B_{2}\) deux parties de \(F\).

  1. Montrer que \((A_{1} \times B_{1}) \cap (A_{2} \times B_{2})=(A_{1}\cap A_{2}) \times (B_{1}\cap B_{2})\).
  2. Montrer que \((A_{1} \times B_{1}) \cup (A_{2} \times B_{1})=(A_{1}\cup A_{2}) \times B_{1}\).
  3. A-t-on nécessairement \((A_{1} \times B_{1}) \cup (A_{2} \times B_{2})=(A_{1}\cup A_{2}) \times (B_{1}\cup B_{2}) ? \) 

1. Soit \((x,y)\in E\times F\).

\[
\begin{aligned}
(x,y)\in (A_{1}\times B_{1})\cap(A_{2}\times B_{2}) &\Leftrightarrow (x,y)\in (A_{1}\times B_{1}) \text{ et } (x,y)\in (A_{2}\times B_{2}) \\ &\Leftrightarrow (x\in A_{1}\ \text{et}\ y\in B_{1}) \ \text{et}\ (x\in A_{2}\ \text{et}\ y\in B_{2}) \\
&\Leftrightarrow (x\in A_{1}\ \text{et}\ x\in A_{2}) \ \text{et}\ (y\in B_{1}\ \text{et}\ y\in B_{2}) \\
&\Leftrightarrow x\in A_{1}\cap A_{2} \ \text{et}\ y\in B_{1}\cap B_{2} \\
&\Leftrightarrow (x,y)\in (A_{1}\cap A_{2}) \times (B_{1}\cap B_{2}).
\end{aligned}
\]

Donc \((A_{1}\times B_{1})\cap(A_{2}\times B_{2})=(A_{1}\cap A_{2})\times(B_{1}\cap B_{2})\).

2. Soit \((x,y)\in E\times F\).

\[
\begin{aligned}
(x,y)\in (A_{1}\times B_{1})\cup(A_{2}\times B_{1}) &\Leftrightarrow (x,y)\in (A_{1}\times B_{1}) \text{ ou } (x,y)\in (A_{2}\times B_{1}) \\
&\Leftrightarrow (x\in A_{1}\ \text{et}\ y\in B_{1}) \ \text{ou}\ (x\in A_{2}\ \text{et}\ y\in B_{1}) \\
&\Leftrightarrow (x\in A_{1}\cup A_{2}) \ \text{et}\ y\in B_{1} \text{ ( Car « et » est distributive par rapport à « ou » )} \\
&\Leftrightarrow (x,y)\in (A_{1}\cup A_{2}) \times B_{1}.
\end{aligned}
\]

Donc \((A_{1}\times B_{1})\cup(A_{2}\times B_{1})=(A_{1}\cup A_{2})\times B_{1}\).

3. Cette égalité n’est pas vraie en général.
Contre-exemple : on pose \(A_{1}=B_{1}=\{0\}\) et \(A_{2}=B_{2}=\{1\}\).

Alors \(A_{1}\times B_{1}=\{(0,0)\}\) et \(A_{2}\times B_{2}=\{(1,1)\}\).
Donc \((A_{1}\times B_{1})\cup(A_{2}\times B_{2})=\{(0,0),(1,1)\}\).

Mais \((A_{1}\cup A_{2})\times(B_{1}\cup B_{2})=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}\).

Ainsi, en général, \((A_{1}\times B_{1})\cup(A_{2}\times B_{2}) \neq (A_{1}\cup A_{2})\times(B_{1}\cup B_{2})\).

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