Dans ce cours, nous introduisons les notions de partie majorée et de partie minorée de \( \mathbb{R} \), ainsi que celles de majorant, de minorant, de plus grand élément (maximum) et de plus petit élément (minimum) d’une partie de \( \mathbb{R} \).
Le cours est accompagné d’exemples et d’exercices corrigés afin de faciliter la compréhension et la maîtrise de ces notions fondamentales.
1) Partie majorée, partie minorée, majorant, minorant
Définition :
Soit \( A \) une partie de \( \mathbb{R} \) et \( m, M \in \mathbb{R} \).
- On dit que \( A \) est majorée par \( M \) lorsque : \( \forall a \in A, a \leq M \).
Dans ce cas, \( M \) est un majorant de \( A \). - On dit que \( A \) est minorée par \( m \) lorsque : \( \forall a \in A, m \leq a \).
Dans ce cas, \( m \) est un minorant de \( A \). - On dit que \( A \) est bornée lorsque \( A \) est à la fois minorée et majorée.
Remarque :
- S’il existe, un majorant \( M \) de l’ensemble \( A \) n’est pas unique, puisque tout réel \( M’ \) supérieur à \( M \) est aussi un majorant de \( A \).
- S’il existe, un minorant \( m \) de l’ensemble \( A \) n’est pas unique, puisque tout réel \( m’ \) inférieur à \( m \) est aussi un minorant de \( A \).
Exemple 1 :
On pose \( A = [0,1] \).
- \( 1, \sqrt{2}, 100 \) sont des majorants de \( A \).
\( \forall M \in [1, +\infty[, M \) est un majorant de \( A \). - \( 0, -\frac{1}{2}, -1 \) sont des minorants de \( A \).
\( \forall m \in ]-\infty, 0], m \) est un minorant de \( A \). - L’ensemble \( A \) est borné car il est à la fois majoré et minoré.
Exemple 2 :
On pose \( A = \{\, 2 + (-1)^n \mid n \in \mathbb{N} \,\} \).
On a \( \forall n \in \mathbb{N}, -1 \leq (-1)^n \leq 1 \).
Donc \( \forall n \in \mathbb{N}, 1 \leq 2 + (-1)^n \leq 3 \).
Ainsi, \( A \) est majorée par 3 et minorée par 1 ; en particulier, \( A \) est bornée.
Exemple 3 :
- Soit \( a \in \mathbb{R} \).
Les ensembles \( \mathbb{Z}, \mathbb{R}, ]a, +\infty[ \) ne sont pas majorés. - Les ensembles \( \mathbb{Z}, \mathbb{R}, ]-\infty, a] \) ne sont pas minorés.
- \( \mathbb{N} \) est une partie de \( \mathbb{R} \) non majorée et minorée par \( 0 \).
2) Plus grand élément (maximum) et plus petit élément (minimum) d'une partie de \( \mathbb{R} \)
Proposition–Définition :
Soit \( A \) une partie de \( \mathbb{R} \).
- On dit qu’un nombre réel \( M \) est le plus grand élément de l’ensemble \( A \) si \( M \) est un majorant de \( A \) et \( M \in A \).
Dans ce cas, \( M \) est unique et on le note \( \max(A) \). - On dit qu’un nombre réel \( m \) est le plus petit élément de l’ensemble \( A \) si \( m \) est un minorant de \( A \) et \( m \in A \).
Dans ce cas, \( m \) est unique et on le note \( \min(A) \).
Preuve :
(i) Supposons que \( A \) admette deux plus grands éléments \( M \) et \( M’ \).
Puisque \( M \) est un plus grand élément de \( A \), on a \( M \) majorant de \( A \), c’est-à-dire \( \forall a \in A, a \leq M \).
Comme \( M’ \in A \), il vient \( M’ \leq M \).
De même, puisque \( M’ \) est aussi un plus grand élément de \( A \), on a \( \forall a \in A, a \leq M’ \).
Or \( M \in A \), donc \( M \leq M’ \).
Ainsi \( M = M’ \).
On conclut donc que le plus grand élément, s’il existe, est unique.
(ii) Supposons que \( A \) admette deux plus petits éléments \( m \) et \( m’ \).
Puisque \( m \) est un plus petit élément de \( A \), on a \( m \) minorant de \( A \), c’est-à-dire \( \forall a \in A, m \leq a \).
Comme \( m’ \in A \), on a \( m \leq m’ \).
De même, \( m’ \) étant un plus petit élément de \( A \), on a \( \forall a \in A, m’ \leq a \).
Or \( m \in A \), donc \( m’ \leq m \).
Ainsi \( m = m’ \).
On conclut donc que le plus petit élément, s’il existe, est unique.
Remarque :
Soit \( A \) une partie de \( \mathbb{R} \) et \( M, m \in \mathbb{R} \). On a :
\[
\begin{aligned}
& M = \max(A) \quad \Longleftrightarrow \quad
\begin{cases}
M \in A, \\
M \text{ est un majorant de } A.
\end{cases} \\[6pt]
& m = \min(A) \quad \Longleftrightarrow \quad
\begin{cases}
m \in A, \\
m \text{ est un minorant de } A.
\end{cases}
\end{aligned}
\]
Exemple 1 :
\( \min([0,1]) = 0 \) et \( \max([0,1]) = 1 \).
Exemple 2 :
Soient \( a, b \in \mathbb{R} \) avec \( a < b \). On a :
- \( \min([a,b]) = a = \min([a,b[) = \min([a,+\infty[) \)
- \( \max([a,b]) = b = \max(]a,b]) = \max(]-\infty,b]) \)
- Les intervalles \( ]-\infty,b], ]-\infty,b[, ]a,b], ]a,b[ \) n’ont pas de plus petit élément.
- Les intervalles \( [a,b[, ]a,b[, [a,+\infty[, ]a,+\infty[ \) n’ont pas de plus grand élément.
Proposition :
- Toute partie non vide fermée de \( \mathbb{R} \) admet un plus grand élément et un plus petit élément.
- Toute partie non vide et majorée de \( \mathbb{N} \) admet un plus grand élément.
- Toute partie non vide de \( \mathbb{N} \) admet un plus petit élément.
- Toute partie non vide et majorée de \( \mathbb{Z} \) admet un plus grand élément.
- Toute partie non vide et minorée de \( \mathbb{Z} \) admet un plus petit élément.
Remarque :
- L’ensemble vide est majoré par tout nombre réel \( M \).
En effet, la proposition « \( \forall x \in \emptyset, x \leq M \) » est vraie car sa négation « \( \exists x \in \emptyset, x > M \) » est fausse puisque \( \emptyset \) ne contient aucun élément. - L’ensemble vide est minoré par tout nombre réel \( m \).
En effet, la proposition « \( \forall x \in \emptyset, m \leq x \) » est vraie car sa négation « \( \exists x \in \emptyset, m > x \) » est fausse puisque \( \emptyset \) ne contient aucun élément.
Exercice 1 :
On pose \( A = \left\{ \dfrac{(-1)^n}{n} \mid n \in \mathbb{N}^* \right\} \).
- Montrer que \( A \) admet un plus grand élément que l’on déterminera.
- Montrer que \( A \) admet un plus petit élément que l’on déterminera.
Corrigé :
1) On a \( \forall n \in \mathbb{N}^*, -1 \leq (-1)^n \leq 1 \) (car \( (-1)^n \in \{-1, 1\} \)).
Donc \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \).
En particulier, \( \forall n \in \mathbb{N}^*, -1 \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \).
Ainsi, l’ensemble \( A \) est minoré par \(-1\).
Or, pour \( n = 1 \), on a \( -1 = \dfrac{(-1)^1}{1} \), donc \( -1 \in A \).
On conclut finalement que \( \min(A) = -1 \).
2) Pour tout \( n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\} \), on a \( (-1)^n \leq 1 \) et \( 0 < \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{2} \).
Donc \( \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}, \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{2} \).
De plus, pour \( n = 1 \), \( \dfrac{(-1)^1}{1} = -1 \leq \dfrac{1}{2} \).
Ainsi, \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{2} \).
L’ensemble \( A \) est donc majoré par \( \dfrac{1}{2} \).
Par ailleurs, pour \( n = 2 \), on a \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{(-1)^2}{2} \), donc \( \dfrac{1}{2} \in A \).
On conclut finalement que \( \max(A) = \dfrac{1}{2} \).
Exercice 2 :
Soient \( A \) et \( B \) deux parties non vides de \( \mathbb{R} \) telles que \( A \subset B \).
- On suppose que \( A \) et \( B \) ont un plus grand élément.
Comparer \( \max(A) \) et \( \max(B) \). - On suppose que \( A \) et \( B \) ont un plus petit élément.
Comparer \( \min(A) \) et \( \min(B) \).
Corrigé :
1) On a \( \forall b \in B,\ b \leq \max(B) \) (car \( \max(B) \) est un majorant de \( B \)).
Or \( \max(A) \in A \) et \( A \subset B \), donc \( \max(A) \in B \).
Ainsi, \( \max(A) \leq \max(B) \).
2) On a \( \forall b \in B,\ \min(B) \leq b \) (car \( \min(B) \) est un minorant de \( B \)).
Or \( \min(A) \in A \) et \( A \subset B \), donc \( \min(A) \in B \).
Ainsi, \( \min(B) \leq \min(A) \).
Exercice 3 :
Soient \( A \) et \( B \) deux parties non vides de \( \mathbb{R} \).
On note :
\[
A + B = \{\, a + b \mid (a,b) \in A \times B \,\}.
\]
- On suppose que \( A \) et \( B \) ont un plus grand élément. Montrer que \( A + B \) admet un plus grand élément et que \( \max(A + B) = \max(A) + \max(B).\)
- On suppose que \( A \) et \( B \) ont un plus petit élément. Montrer que \( A + B \) admet un plus petit élément et que \( \min(A + B) = \min(A) + \min(B).\)
Corrigé :
1) Pour tout \( a \in A \) on a \( a \leq \max(A) \) et pour tout \( b \in B \) on a \( b \leq \max(B) \).
Donc, pour tout \( (a,b) \in A \times B \), \( a + b \leq \max(A) + \max(B) \).
Ainsi \( \max(A) + \max(B) \) est un majorant de \( A + B \).
Comme \( \max(A) \in A \) et \( \max(B) \in B \), on a \( \max(A) + \max(B) \in A + B \).
On en conclut que \( A + B \) admet un plus grand élément et que \( \max(A + B) = \max(A) + \max(B).\)
2) Pour tout \( a \in A \) on a \( \min(A) \leq a \) et pour tout \( b \in B \) on a \( \min(B) \leq b \).
Donc, pour tout \( (a,b) \in A \times B \), \( \min(A) + \min(B) \leq a + b \).
Ainsi \( \min(A) + \min(B) \) est un minorant de \( A + B \).
Comme \( \min(A) \in A \) et \( \min(B) \in B \), on a \( \min(A) + \min(B) \in A + B \).
On en conclut que \( A + B \) admet un plus petit élément et que \( \min(A + B) = \min(A) + \min(B).\)