Ci-dessous, nous présentons la formule de l’inégalité de Bernoulli et en donnons deux démonstrations : l’une par récurrence et l’autre par la convexité.
1) Formule de l'inégalité de Bernoulli
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in [-1, +\infty[, \quad (1+x)^{n} \geq 1 + n x
\]
2) Deux démonstrations de l'inégalité de Bernoulli
a) Preuve par récurrence de l'inégalité de Bernoulli
- Initialisation :
Pour \(n = 0\), on a \(\forall x \in [-1, +\infty[, \ (1+x)^{0} = 1 = 1 + 0 \cdot x\) (avec la convention \(0^{0} = 1\)).
La formule est alors valable pour \(n = 0\). - Hérédité :
Soit \(n \in \mathbb{N}\). On suppose que \(\forall x \in [-1, +\infty[, \ (1+x)^{n} \geq 1 + n x\).
Soit \(x \in [-1, +\infty[\) :
\[
\begin{aligned}
(1+x)^{n+1} &= (1+x)^{n}(1+x) \\
&\geq (1 + n x)(1+x) \quad \text{(par hypothèse de récurrence)} \\
&\geq 1 + x + n x + n x^{2} \\
&\geq 1 + (n+1)x + n x^{2} \\
&\geq 1 + (n+1)x \quad (\text{car } x^{2} \geq 0)
\end{aligned}
\]
La formule reste donc valable pour \(n+1\).
- Conclusion :
Par le principe de la récurrence simple, nous avons prouvé que
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in [-1, +\infty[, \quad (1+x)^{n} \geq 1 + n x.
\]
b) Une preuve de l'inégalité de Bernoulli en utilisant la convexité
L’inégalité est évidente pour \(n = 0\) et \(n = 1\).
Soit \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\).
On pose :
\[
\forall x \in [-1, +\infty[, \quad f_{n}(x) = (1+x)^{n}.
\]
La fonction \(f_{n}\) est deux fois dérivable sur \([-1, +\infty[\) et :
\[
\forall x \in [-1, +\infty[, \quad f_{n}^{\prime\prime}(x) = n(n-1)(1+x)^{n-2} \geq 0.
\]
Ainsi, \(f_{n}\) est convexe sur \([-1, +\infty[\).
Par définition de la convexité, la courbe de \(f_{n}\) est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier celle en \(O\), qui a pour équation :
\[
y = f_{n}'(0)(x – 0) + f_{n}(0) = n x + 1.
\]
On en déduit que :
\[
\forall x \in [-1, +\infty[, \quad f_{n}(x) = (1+x)^{n} \geq 1 + n x.
\]