Dans ce qui suit, nous allons présenter la formule du développement limité en 0 de \( \ln(1+x) \), nous allons ensuite la démontrer et enfin nous allons présenter une application du DL de ln dans la recherche des équivalents et le calcul des limites.
DL de ln(1+x) en 0
Pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*} \),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Autrement dit, le DL de ln en \( 0 \) à l’ordre \( n \) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{x^{k}}{k}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Démonstration de la formule du développement limité de ln
Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \)
Pour trouver le DL de ln, on part d’abord de la remarque que
\[
\forall x\in]-1,+\infty[, \quad (\ln(1+x))’=\frac{1}{1+x}
\]
Et on sait que \( \displaystyle \frac{1}{1+x}\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{k}+o\left(x^{\,n-1}\right) \)
En intégrant cette formule on trouve :
\[
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}\ln(1)+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k}}{k+1}x^{k+1}+o\left(x^{n}\right)
\]
Puisque \( \ln(1)=0 \) et via le changement d’indice \( j=k+1 \)
On trouve finalement que :
\[
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{j=1}^{n}\frac{(-1)^{j+1}}{j}x^{j}+o\left(x^{n}\right)
\]
Exemples de DL de ln
- Le DL à l’ordre \( 0 \) de \( \ln(1+x) \) en \( 0 \) est :
\[
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}o(1)
\]
- Le DL à l’ordre 1 de \( \ln(1+x) \) en 0 est :
\[
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x+o(x)
\]
- Le DL à l’ordre 2 de \( \ln(1+x) \) en 0 est :
\[
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 3 de \( \ln(1+x) \) en 0 est :
\[
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 4 de \( \ln(1+x) \) en 0 est :
\[
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+o\left(x^{4}\right)
\]
Applications du développement limité de ln
Puisqu’on a \( \ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x+o(x) \)
En particulier, on obtient l’équivalent suivant : \( \ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}x \)
Ce qui signifie que \( \displaystyle \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ x\neq 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}=1 \)
On a aussi \( \ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right) \)
Donc \( \ln(1+x)-x\underset{x\rightarrow 0}{=}-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right) \)
On obtient alors l’équivalent : \( \ln(1+x)-x\underset{x\rightarrow 0}{\sim}-\frac{x^{2}}{2} \)
En particulier \( \displaystyle \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ x\neq 0}} \frac{\ln(1+x)-x}{x^{2}}=-\frac{1}{2} \)