Dans ce qui suit, nous allons présenter la formule du développement limité en 0 de arctangente, nous allons ensuite la démontrer et enfin nous allons présenter une application du DL de arctan dans la recherche des équivalents et le calcul des limites.
DL de arctan en 0
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{\arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o\left(x^{2n+2}\right) }\]
Autrement dit, le DL de \(\arctan\) en 0 à l’ordre \( 2n+2 \) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{\arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}+o\left(x^{2n+2}\right)} \]
Démonstration de la formule du développement limité de arctan
Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \)
Pour trouver le DL de \(\arctan\), on part d’abord de la remarque que \( \forall x \in \mathbb{R}, \quad \arctan'(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \)
Et on sait que \( \displaystyle \frac{1}{1+x^{2}} \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} x^{2k}+o\left(x^{2n}\right) \)
Donc \(\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} x^{2k}+o\left(x^{2n}\right) \)
En intégrant cette formule on trouve :
\(\displaystyle \arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} \arctan(0)+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{2k+1} x^{2k+1}+o\left(x^{2n+1}\right) \)
Puisque \( \arctan(0)=0 \) et \(\arctan\) est impaire, on trouve finalement que :
\(\displaystyle \arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{2k+1} x^{2k+1}+o\left(x^{2n+1}\right) \)
Exemples de DL de Arctan
- Le DL à l’ordre \(0\) de \(\arctan\) en \(0\) est :
\[
\arctan(x)\underset{x \rightarrow 0}{=} o(1)
\]
- Le DL à l’ordre 1 de \(\arctan\) en 0 est :
\[
\arctan(x)\underset{x \rightarrow 0}{=} x+o(x)
\]
- Le DL à l’ordre 2 de \(\arctan\) en 0 est :
\[
\arctan(x)\underset{x \rightarrow 0}{=} x+o\left(x^{2}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 3 de \(\arctan\) en 0 est :
\[
\arctan(x)\underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 4 de \(\arctan\) en 0 est :
\[
\arctan(x)\underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{4}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 5 de \(\arctan\) en 0 est :
\[
\arctan(x)\underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+o\left(x^{5}\right)
\]
Applications du développement limité de Arctangente
Puisqu’on a \(\arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} x+o(x)\)
En particulier, on obtient l’équivalent suivant : (\operatorname{arctan}(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x\)
Ce qui signifie que \( \displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{\arctan(x)}{x}=1\)
On a aussi \(\arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right)\)
Donc \(\arctan(x)-x \underset{x \rightarrow 0}{=} -\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right)\)
On obtient alors l’équivalent : \(\arctan(x)-x \underset{x \rightarrow 0}{\sim} -\frac{x^{3}}{3}\)
En particulier \( \displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{\arctan(x)-x}{x^{3}}=-\frac{1}{3}\)