Exercice :
Soit \( f \) une application injective de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \). On définit sur \( \mathbb{R}\) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par :
\( \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad x \mathcal{R} y \Leftrightarrow f(x) \leq f(y) \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'ordre sur \( \mathbb{R} \).
2) L'ordre est-il total ou partiel ?
Corrigé :
1) Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{R}\).
Réflexivité :
Soit \(x\in\mathbb{R}\).
On a \(f(x)\leq f(x)\), donc \(x\mathcal{R}x\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est réflexive.
Antisymétrie :
Soient \(x,y\in\mathbb{R}\) tels que \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}x\).
On a alors
\[
f(x)\leq f(y)\quad\text{et}\quad f(y)\leq f(x).
\]
Par antisymétrie de la relation \(\leq\) sur \(\mathbb{R}\), on obtient
\[
f(x)=f(y).
\]
Or \(f\) est injective, donc \(x=y\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est antisymétrique.
Transitivité :
Soient \(x,y,z\in\mathbb{R}\) tels que \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}z\).
On a alors
\[
f(x)\leq f(y)\quad\text{et}\quad f(y)\leq f(z).
\]
Par transitivité de la relation \(\leq\) sur \(\mathbb{R}\), on obtient
\[
f(x)\leq f(z).
\]
Donc \(x\mathcal{R}z\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est transitive.
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{R}\).
2) Cet ordre est-il total ou partiel ?
Soient \(x,y\in\mathbb{R}\).
Puisque la relation d'ordre usuelle \(\leq\) est totale sur \(\mathbb{R}\), on a
\[
f(x)\leq f(y)\quad\text{ou}\quad f(y)\leq f(x).
\]
Par définition de \(\mathcal{R}\), on en déduit que
\[
x\mathcal{R}y\quad\text{ou}\quad y\mathcal{R}x.
\]
Ainsi, deux éléments quelconques de \(\mathbb{R}\) sont toujours comparables pour la relation \(\mathcal{R}\).
Conclusion :
\(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre total sur \(\mathbb{R}\).