Cet exercice corrigé de mathématiques, porte sur les relations d’équivalence sur l’ensemble des parties d’un ensemble.On considère une relation binaire définie sur (\mathcal{P}(E)) à l’aide de l’union avec une partie fixée (A). L’objectif est de démontrer que cette relation est une relation d’équivalence, puis de déterminer les classes d’équivalence de l’ensemble vide, de (A) et de (E).La correction détaillée permet de revoir les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, ainsi que les opérations sur les ensembles.
Exercice :
Soit \( E \) un ensemble et \( A \in \mathcal{P}(E) \).
On définit une relation binaire \( \mathcal{R} \text{ sur } \mathcal{P}(E) \) par : \( \forall X, \ Y \in \mathcal{P}(E), \ X \mathcal{R} Y \Leftrightarrow X \cup A = Y \cup A \)
1) Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence.
2) Déterminer : \( cl(\emptyset ), \ cl(A) \text{ et } cl(E) \)
Corrigé :
1) Montrons que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence.
Réflexivité :
Soit \(X\in\mathcal{P}(E)\).
On a \(X\cup A=X\cup A\).
Donc \(X\mathcal{R}X\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est réflexive.
Symétrie :
Soient \(X,Y\in\mathcal{P}(E)\) tels que \(X\mathcal{R}Y\).
On a alors \(X\cup A=Y\cup A\).
Donc \(Y\cup A=X\cup A\), d'où \(Y\mathcal{R}X\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est symétrique.
Transitivité :
Soient \(X,Y,Z\in\mathcal{P}(E)\) tels que \(X\mathcal{R}Y\) et \(Y\mathcal{R}Z\).
On a alors\[X\cup A=Y\cup A\quad\text{et}\quad Y\cup A=Z\cup A.\]
Donc \(X\cup A=Z\cup A\), d'où \(X\mathcal{R}Z\).
Ainsi, \(\mathcal{R}\) est transitive.
Conclusion : La relation \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence sur \(\mathcal{P}(E)\).
2) Déterminons les classes d'équivalence de \(\emptyset\), \(A\) et \(E\).
Classe d'équivalence de \(\emptyset\) :
Soit \(X\in\mathcal{P}(E)\).
On a\[\begin{aligned}X\in cl(\emptyset)&\Leftrightarrow X\mathcal{R}\emptyset\\&\Leftrightarrow X\cup A=\emptyset\cup A\\&\Leftrightarrow X\cup A=A\\&\Leftrightarrow X\subset A.\end{aligned}\]
Par conséquent,\[\boxed{cl(\emptyset)=\mathcal{P}(A)}.\]
Classe d'équivalence de \(A\) :
Soit \(X\in\mathcal{P}(E)\).
On a\[\begin{aligned}X\in cl(A)&\Leftrightarrow X\mathcal{R}A\\&\Leftrightarrow X\cup A=A\cup A\\&\Leftrightarrow X\cup A=A\\&\Leftrightarrow X\subset A.\end{aligned}\]
Par conséquent,\[\boxed{cl(A)=\mathcal{P}(A)}.\]
Classe d'équivalence de \(E\) :
Soit \(X\in\mathcal{P}(E)\).
On a\[\begin{aligned}X\in cl(E)&\Leftrightarrow X\mathcal{R}E\\&\Leftrightarrow X\cup A=E\cup A\\&\Leftrightarrow X\cup A=E\\&\Leftrightarrow E\setminus A\subset X.\end{aligned}\]
Par conséquent,\[\boxed{cl(E)=\{X\in\mathcal{P}(E)\mid E\setminus A\subset X\}}.\]